实变函数论的核心——Lebesgue测度是什么

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测度是Lebesgue思想的核心内容，我们回忆微积分中的黎曼积分的定义，一元函数的积分从几何直观上可以看作一元函数与坐标轴围成的面积。将定义域分割成n个小区间，当n趋向无穷时，每个小区间长度趋向0；同样的如果是双重积分，被积函数是二元函数，用黎曼积分定义来计算，是将定义域分割成无数面积趋向于0的小平面图形，而二重积分几何直观上就是求体积。对于大致上连续的函数，黎曼积分是可积的，但有大量的函数黎曼不可积，比如著名的狄利克雷函数，这时候如何来研究它们呢？我们知道[0,1]的区间长度是1，[0,1]中有理数组成的数集的长度是多少呢？那么Lebesgue测度是对度量这个概念进行了改造，对长度、面积和体积的概念进行了推广，所以当时Lebesgue博士论文的题目就叫“积分、长度与面积”。

外侧度之所以叫“外”，是因为采用矩形去覆盖点集，从外部逼近点集，肯定比点集的“面积”大，为了得到点集的“面积”，取所有覆盖的下确界。我们希望一个点集满足可数可加性，满足它的点集叫可测集，当一个点集是可测集，其“外侧度”就叫作“测度”了。下面给出外侧度的定义。

上一篇中漏掉了关于σ-代数的定义，现在补起来，σ-代数实际上是一个集合族，里面的元素的可数并还是在这个集合族里，也就是对可数的交、并、补是封闭的。

数学家创建测度概念的目的是想推广长度、面积、体积的概念，所以希望测度要满足一定性质，例如测度具有非负性，这个很好理解，因为长度、面积、体积都是非负的；同时如果一个物体是由两个物体组成，我们知道它的体积是两个物体体积之和，所以我们希望测度具有可数可加性。历史性出现过几种测度理论，比如Jordan测度，但它只有有限可加性，正是可数可加性使得Lebesgue测度拥有其他理论无法媲美的优势。

上面定义的外侧度满足我们想要的性质吗？答案是否定的。可为什么为什么我们仍然用它，因为目前来讲它是最合适的，而且最关键的一点是，不可能找到一种测度使得对于一切点集都满足可数可加性。下面介绍外侧度的性质。

可以看到这个定理的证明，使用的就是在数学分析里常用的 ε-N语言，外侧度具有次可加性，不是我们想要的测度具有的性质，所以需要将点集的范围缩小，从而诱导出其外侧度具有可数可加性的集合。

这个定义本身就比较巧妙，首先在这个等式里E和E的补集是轮换对称的，所以易知对于任意的可测集E，E的补集也是可测集；然后可测集类对有限次和可数次的交并运算是封闭的；最后外侧度在可测集类上满足可数可加性。结合前面σ-代数的定义，可知可测集类构成一个σ-代数。

测度为零的集合叫做零测集，比如全体有理数组成的集合，不可数的点集也有可能是零测集，比如康托集，而且零测集的任意子集都是零测集，那说明零测集类的基数不小于阿列夫2，由于可测集类包含零测集类，所以可测集类的基数不小于阿列夫2，而全体实数集类的基数就是阿列夫2，可测集类只是全体实数集类的子集，所以可测集类的基数就是阿列夫2。可测集是相当广泛的一类集合，前面说过Borel集也是一个σ-代数，易知凡Borel集都是可测集。