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线性代数的教材中，有两处着重提到过n维向量，一处是n维向量的定义：
n个有顺序的数所组成数组
叫做n维向量。数叫做向量的分量（或坐标）。
另一处是n维向量内积的定义：
设有n维向量
令，
称为向量与的内积。
注意看，两种n维向量在形式有什么不同？一种写成行矩阵，一种写成列矩阵，对不对？
那么，各取一组3维向量，每组3个向量，按同样的编号方式写出它们的矩阵，会有什么不同呢？一起来看一下。
第一种向量，3个3维向量分别为：
，
，
。
它们组成的矩阵为：
第二种向量，3个3维向量分别为：
它们组成的矩阵为：
看出什么端倪来没有？从形式上看，矩阵A的行即是矩阵B的列，两个矩阵互为转置矩阵。显然横着写的向量和竖着写的向量不是一回事。
那么问题来了，两种向量之间有什么关联吗？
要想探究两种向量之间的关联，最简单的办法，是写出与它们同时具有关联意义的行列式，再看看它们的行列式有什么不同。
那么怎么样去找与两种向量都有关联的行列式呢？由于行列式的元素的基本含义是某一多元线性方程组的系数，那我们根据上面的两种3维向量组，分别写出对应的齐次线性方程组（各方程右端均为0，对应向量的内积为0）就好了。
在教材中，第一种向量的引出，是为“线性相关”这一概念作准备的，那我们就从这里入手。
我们先看一下线性相关的定义：
设有n维向量组,如果存在一组不全为o的数,使
,则称该向量组线性相关。
（注意一下编号的下坠字母m，通常我会用它来表示“行”）
根据线性相关的定义，我们为第一种向量组
，
，
。
构建齐次线性方程组。
为了编号形式一致，设存在一组不为全0的数，使。即
将字母对调一下，即为
提取的系数作为元素，有行列式：
的行列排序对照矩A，行变成了列，列变成了行，反而跟矩阵B长得一样了。
第二种向量的引出，是为“向量的内积”这一概念作准备的，向量的内积为0时，恰好对应齐次线性方程组（等号右端都为0）。
设存在非零向量（)’，与向量
的内积均为零，则有
提取的系数作为元素，有行列式：
的行列排序对照矩B，也是行变列，列变行，跟矩阵A排序相同。
可以看出来，两个行列式，也只是行列互换，计算结果是一样的，。这说明两组向量所构成的向量空间是等价的，换句话说，一个向量空间可以用两种方式来表达。
对于一个向量空间，我们可以这样看待它：它有n个维度，对应线性方程组有n个未知数；在这n维空间里有m条向量线段，对应方程组包含m个方程。对应到行列式里m为行，n为列。
取一个向量的分量（或行列式的元素）,它的下标是i、j，谁也没有规定i=m、i=n吧！所以，i可以在m里取值，也可以在n里取值，j同理。这样，就产生了两种不同的向量。
当i在n里取值时，表示在第i个维度里，第j条向量线段在其维度轴线上的投影坐标；锁定i，得到第一种向量，表示在一条维度轴线上，记录下所有向量线段的投影坐标。那么，不同维度轴线上的坐标线性关联吗？于是我们在此基础上讨论线性相关或线性无关。
当i在m里取值时，代表第i条向量线段在第j个维度轴线上的投影坐标；锁定i，得到第二种向量，表示一条向量线段在所有维度轴线上的坐标。既然得到一条向量线段的所有坐标，自然就是用来求内积的。
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