从量子力学到流体模拟：探秘微观世界

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

这个流体模拟器是我们将在本系列文章中构建的。一旦它准备就绪，我们将用它来研究各种流体动力学现象：诸如升力和阻力之类的常见现象，以及诸如涡旋脱落或压力-速度相互作用之类的更不为人知的现象。

我们之所以不直接选择任何现成的软件工具，是有充分理由的。一方面，这样做固然方便，但我们无论如何都要深入研究流体动力学的基础知识，那为什么不直接应用我们学到的东西呢？更重要的是，自己构建模拟器能让我们更加确信它；我们不仅仅是学习概念和方程式，而是真正地看到它们来自哪里以及它们如何发挥作用。这才是区别所在，我们不会错过这个宝贵的机会。

为了让这一切顺利进行，我们从最基础的层面开始，也就是构成分子相互作用的亚原子层面。然后，我们采用不同的方法来降低问题的复杂性。具体来说，我们通过将流体视为连续场并对其中的分子进行平均化处理。然后，我们会对这个连续体进行空间和时间上的离散化——至于具体怎么做，我们稍后会详细解释。最后，我们用适当的边界处理将模拟器完整地构建起来。

一旦我们真正理解了模拟器的运作机制，我们就可以依靠它来回答任何即将出现的问题。拥有我们自己的模拟器的最大好处在于我们可以完全控制它，这意味着我们可以主动地操纵其中的物理参数，并观察各种现象与物理参数之间的内在联系。

但是，首先要做的。为了打好数学基础，我们必须深入研究诸如计算流体动力学之类的领域，简称 CFD。 CFD 往往给人一种令人不安的感觉。但每当你感到不知所措时，不妨退一步，你会发现所有内容都可以分解成几个核心思想。我们将在本系列文章中逐步揭示所有这些核心思想。

在第一篇文章中，我们将重点介绍流体模拟的微观基础，这对于理解宏观层面的流体模拟至关重要。我的目标是，让您在看完本视频后，对流体动力学的微观视角有一个清晰的认识。在本系列文章结束后，您将对流体模拟有一个全面的了解。好了，让我们开始吧！

我相信大家对流体都有一定的了解。也许你会把它想象成一个个离散的、相互碰撞的粒子，或者一个连续的、流动的介质。为了便于后续的讨论，我们首先统一一下对流体的认识。不同的视角各有优缺点，在不同的情况下，我们会选择最合适的视角来研究流体。我的意思是：

模拟流体的核心主题是以一切可能的方式减少信息。原因很简单：我们不可能处理流体中存在的所有原始信息。所以，在我们开始模拟任何东西之前，让我们大致了解一下我们正在处理的信息量。

如果我们要在计算机上表示构成流体的所有分子，那么我们会面临两个问题：

A. 分子数量巨大——不仅仅是多了一点，而是多得惊人，远远超出了计算机的处理能力。

B. 有些信息我们想知道，但只能通过统计方法间接推断，甚至有些信息我们根本无从得知。

以分子的旋转为例。试想一下，如果某个分子的旋转方向不同，你是否期望它会对流体的宏观性质（例如升力）产生显著影响？这个，就在这里？或者说，单个分子的具体位置是否会对流体的宏观性质产生显著影响？实际上，真正影响流体宏观性质的是大量分子的平均状态。

因此，如果我们试图在量子层面上为每个分子建模亚原子机制，那么计算量将会非常巨大，而且对于我们研究流体的宏观性质并没有太大帮助。我们通常只关心流体的宏观性质，例如净升力。

所以，我们必须简化流体中包含的信息。但问题是，如何简化？我们如何用数学方法来突出对我们重要的信息，并平均掉我们不关心的其余部分？

好吧，这不是正确的方法。我们将会采用一种包含多个层级或模块的方法，但这些层级或模块可以根据需要进行替换。这一点非常重要：以模块化的方式构建模拟意味着赋予它结构。我们将在未来的系列文章中使用许多这样的工具，结构化的视角将会带来很大的回报。

好的，为了真正地从头开始构建模拟器，让我们先确定一个好的起点——量子力学。

为了理解为什么我们需要每一层抽象，我们必须了解底层所有内容的问题所在。那么，量子力学试图解决的问题是什么？

正如我们即将看到的，这个问题非常严重，以至于在量子层面上模拟即使是小型流体系统也几乎是不可能的。

好的，为了了解发生了什么，我们必须研究自然的基本属性。它最终归结为我们如何看待测量。例如，对于像这个球这样的宏观物体，跟踪其路径或轨迹是一项简单的任务。你只需看看它，或者使用任何其他为你代劳的设备。

问题是，你如何跟踪更小物体的路径，例如基本粒子？例如，这可能是围绕氢原子核运动的电子。你必须重新思考“观察”的含义。

让我们构建一个实验。

在这个实验中，我们使用激光向原子发射光子，而原子本身被放置在电场中。然后，光子可能会将电子踢出围绕原子的静电势阱。当这种情况发生时，电子会被电场加速到右侧，在那里我们可以检测到它所产生的局部影响。

现在，具体的实验细节在这里并不重要。重要的是，如果以正确的方式执行此实验，则可以获取有关原子内电子原始位置的信息。这太棒了——我们竟然能够看到电子在原子中的位置！但是，这样做会显著地改变电子的未来状态。

从这个意义上说，“观察”实际上意味着相互作用。样本和测量设备（电子和光子）在能量尺度上更加接近，与任何宏观物质相比。因此，当你测量时，你不可避免地会对电子施加影响。即使你使用一个不会将原子撕裂的实验，我们也必须以某种方式“感知”到电子。所以实际上，跟踪此类微小物体不受干扰的轨迹似乎是不可能的。

不幸的是，关于粒子在位置和动量方面可以确定的程度，存在一个更加基本的限制，而与测量过程无关：这就是海森堡不确定性原理。因此，即使在理论上，谈论此类微小物体的轨迹也失去了意义。

然而，平均许多观察结果以产生不同类型的信息则不会失去意义：这就是概率视角。因为，尽管如此，考虑在原子的某个区域检测到电子的可能性有多大仍然是有意义的。根据诸如电子能量或电场强度之类的属性，这些概率分布具有许多不同的形状。

如果原子周围有多个电子，则情况会更加复杂，因为电子运动是相关的。因此，真正的多电子概率分布不仅仅是单个电子形状的组合，尽管可以通过使用它们作为起点来近似。无论哪种方式，结果始终是概率分布。

关于这些微小基本粒子的另一个奇特之处是它们不仅表现得像粒子（这意味着它们的数量是整数，并且一旦测量，你就会在某个不同的位置观察到撞击），而且它们也表现得像波浪一样。这意味着，只要你不观察它们，它们就会绕过拐角并叠加、衍射和干涉。

在本系列文章中，我不想专注于为什么自然选择以这种方式行事，而是想探讨这对我们意味着什么，因为我们希望在此基础上推导出模型。毕竟，我们想研究的是流体动力学。但首先，我们必须到达那里。

所以，为了理解这些概率和波状特性，一些物理学家决定开发一种数学工具，该工具的核心能够反映他们在所有实验中观察到的这种不确定性。这个工具叫做量子力学。

量子力学方法的核心依赖于两个数学对象：

包含有关所有考虑粒子的状态的信息的波函数。

和一个作用于波函数并告诉我们它如何随时间变化的演化方程（薛定谔方程）。

然后，你可以再次从新的波函数中推导出概率。这与我们之前讨论的概率类型相同。它告诉我们在空间的某个区域检测到粒子的可能性有多大。我们建立了一个模型来解释我们在测量中看到的内容。

演化方程的确切形式在这里并不重要——真正的问题在于它背后的基本概念。我们真正关心的是，对我们所模拟的流体的给定体积执行此类计算的计算成本有多高。在这方面，我们只需要知道执行演化操作需要一定的时间。

那么，让我们构建一些模拟。

对于我们这里的单个粒子，波函数会为二维空间中的每个点分配一个复数。演化方程会获取所有这些数字以及一个与问题相关的项（哈密顿量），该项指定演化的规则，并沿着时间连续且确定性地推进这些数字。因此，相同的初始波函数将始终给出相同的演化结果。

我们现在可以用计算机可以处理的有限数量的值来表示无限数量的这些点和时间步长。我们将在后面更详细地讨论这种空间和时间离散化。现在，让我们假设我们将视图限制在空间的一个子区域，并将场细分为每边有一千个部分。这意味着每个单元格存储一个复数，欧文在这里的任务是弄清楚一百万个复数是如何变化的，因为每个数字都代表粒子波函数的一部分。粒子可以出现在任何地方，我们需要考虑到这一点。一百万个数字，仅仅是为了模拟一个粒子穿过一小部分空间！

你可能会认为问题现在仅仅是我们需要太多这样的单元格来填满流体体积。但实际情况更加糟糕，数量级更高。看看这个。如果你只看我们二维平面的一部分，我们就无法解释为什么波突然表现不同，与生活在一个维度中的粒子相比——我们在这一部分中看不到墙壁。这种影响必须由相邻部分提供。

同样，如果你只看一个单元格，我们完全不知道它为什么这样做。一切都通过一个基础波函数的演化耦合在一起，相邻的单元格必须告诉我们那里发生了什么。

当我们考虑多个粒子时，对一个波函数的这种依赖性更加明显。这两个粒子生活在一个维度中；它们彼此移动，通常它们的运动相互依赖。你现在可以量化粒子一在这个任意选择的区域中被检测到的可能性，而粒子二在那个区域中被检测到的可能性。这给出了一个联合概率。

由于每个粒子单独的概率分布涵盖了所有一维空间，我们需要更多自由度——更多空间——来存储联合信息。所以仍然只有一个波函数产生概率，但它存在于二维空间中。

然后，两个粒子都由在某个区域检测到一个粒子的联合概率表示，而另一个粒子在其他地方被检测到。你仍然可以通过将检测范围沿另一个粒子的轴扩展到正/负无穷大来描述单个粒子的概率。

再次，波函数描述了一个联合概率，并告诉你一些关于组合测量结果的信息。通过考虑另一个粒子的每个可能位置，你可以获得单个粒子概率。从这个意义上说，两个粒子的概率最终通过沿不同方向观察而表现为所谓的边际概率，每个方向都对同一个高维波函数提供了独特的视角。

到目前为止，我们有了一个纯粹的数学框架，我们应该赋予它不同的属性，以反映已知的物理行为。例如，有些粒子相互排斥。通过使用粒子间势，我们可以强制波函数来解释这一点。我们将在本部分后面详细了解势能。

一个特别重要的属性是同类粒子是不可区分的——它们不能被物理标记。所以你不会检测到“电子一”和“电子二”；你检测到一个电子，然后是另一个电子。通过实现对称性，你可以看到两个电子可以在切换位置被检测到，这使得该模型对物理学研究非常有用。

所以，毕竟，虽然物理一维空间可以使用一千个单元格进行离散化，但两个粒子的二维波函数在最坏情况下（没有对称性）需要一百万个单元格。如果你在二维物理空间中有两个粒子，那么波函数就存在于四维空间中！

尽管这乍一看可能令人困惑，但这对欧文来说也是一项具有挑战性的任务。他现在必须处理一百万乘以一百万个单元格——仅仅针对两个粒子。

到目前为止，我们似乎只是迷失在计算复杂性中。

当然，我们会采用一些捷径和近似方法。但即便如此，如果再添加五个粒子，每个粒子都带来自己的一组额外维度，计算量依然巨大。哦，别忘了我们生活在三维空间中。而且，一些粒子还具有其他属性，比如自旋，所以概率空间甚至更大。你明白我的意思了——计算量很快就变得难以承受，至少在使用传统计算机时是这样。

好的，这正是我们预期的结果，因为我们从一开始就知道用量子力学模拟流体是不可能的。但我总是对一切的来源感到好奇，弄清楚为什么某件事行不通，这本身就是一件有意义的事。

所以，我们需要做得更好。我们需要构建一个替代模型，该模型能够代表基本的物理属性，同时求解速度要快得多。每当你想要简化时，通常可以选择多种方法。

一种流行的减少信息的方法是利用动力系统通常以特定模式演化这一事实。

为了证明这一点，我们来看一下这个一维粒子，它由其波函数分量表示。为了让它保持在场景中心附近，我们添加了一个所谓的“势能”，它会在粒子偏离中心越远时就越把它推回来。这没什么特别的；它有点像碗里的弹珠。当我们专注于模拟原子间行为时，我们将在一分钟内讨论势能。

无论如何，这是我们必须通过哈密顿量告诉演化方程的指令类型，哈密顿量基本上跟踪系统的总能量，而势能当然是其中的一部分。

所以，当我们开始模拟时……欧文，请开始吧。我们看到波函数，以及概率，在波动，并出现一定的重复性。

这里有一个线索：我们可以构建一些特定的波函数形状，或称“驻波”，以正确的方式组合起来，以惊人的精度逼近真实的演化。

所以，我们不是演化一千个单独的单元格，而是只演化这些叠加形状的几个单独的缩放因子，也称为“模态形状”。在我们的例子中，由于演化方程的线性形式，这些缩放因子甚至更容易计算。所以，一旦你掌握了这些形状，你就可以在这里节省大量的计算时间。

“驻波”这个名称仅仅反映了概率（它决定了测量结果）没有改变，尽管底层的波函数分量确实以一定的频率振荡。

如果每个单独的复数恰好沿着复平面中的一个圆演化，这是可能的。这样，概率（作为波函数值的绝对值的平方）保持不变。这种旋转的振荡频率在后面将非常重要。

好的是，形状的选择及其数量使你能够自由地调整简化模型的精度以满足你的需求。这种方法并不局限于量子力学。它是一种通用的数学工具，有时称为“模型降阶”。但它有很多名字，它本身就是一个巨大的主题，我们将在未来多次探索和应用它。

但是，现在，这不是我们需要的。它确实提供了大幅减少计算量的功能，并且经常被成功应用（这就是为什么我必须在这里提到它），但它并没有改变你正在建模的内容。在这里，这意味着你仍然关心波函数和概率，用一万亿个模态来表示一万亿个流体单元格并不能真正帮助我们实现目标。事实上，首先为高维系统计算这些形状本身就很复杂。

现在，我们需要一种不同类型的简化。我们需要改变底层范式。我们需要分子动力学。

你看，到目前为止，我们在一个可能很大的空间中演化了波函数的所有值，仅仅是因为联合概率的性质让我们别无选择。但是，如果我们可以忽略类波属性和概率呢？如果粒子可以明显地定位，并且我们可以确定单个轨迹呢？我们不需要迭代整个空间，而只需演化一些唯一的位移速度矢量。

好的，对于这里的这两个粒子，我们看到，组合的位置和速度矢量实际上存在于一个更大的空间中，称为“相空间”，与波函数的空间相比，波函数的空间仅用位置或动量来表示。但我们只需要演化这个相空间中的一个点，无论相空间的维数有多高。这就是拥有局部粒子好处——你不需要跟踪其他可能的场景。

但我们了解到，电子和其他亚原子粒子确实在截然不同的场景中演化。在任何测量之前，我们只能对它们的位置有所了解。那么，在什么质量或长度尺度上，可以假设具有几乎局部化的行为，即使它永远不会真正正确？

好吧，事实证明，大约在原子大小附近。

这就是分子动力学发挥作用的地方。它是一种将所有原子建模为经典力学框架中的粒子的计算方法。因此，原子的所有亚原子粒子都被组合成一个在唯一轨迹上移动的质量。同样，这些原子之间的所有相互作用——就吸引、排斥和键合而言——都由取决于距离的力来表示。

这些力由所谓的“原子间势能”来暗示，它描述了将粒子从一个地方移动到另一个地方需要做多少功。但是，由于功只是力在路径上的积分，因此它的导数就是力。

这就是 Lennard-Jones 势能，它是原子间建模中弱范德华吸引力的流行选择，同时还具有强排斥力。这只是典型的原子行为。

正如我们在量子力学中对波函数有一个演化方程一样，我们在经典力学中对位置和速度也有一个演化方程：牛顿第二运动定律。

从本质上讲，它指出作用在物体上的合力决定了其动量变化率。通过数值积分，你得到更新的速度和位置——你进行模拟。

现在，看看这个设置，它看起来很简单：只是一些原子粒子在势能中移动而不是波函数。这确实是一大进步，但我们如何证明它的合理性呢？原子间势能是如何计算的？为什么我们可以将粒子视为局部化的？

让我们把它分解成更简单的部分，以真正了解量子力学和分子动力学之间的联系。

为了理解原子间相互作用，我们必须研究亚原子成分的相互作用。在这里，我们从典型的核-电子相互作用开始。

原子核和电子之间的吸引力可以通过库仑势能推导出来。正如我们之前所学，这个力等于动量变化率，当然也适用于这里的两个粒子。对于恒定质量，动量变化率就是质量乘以加速度。所以，在相同的力作用下，较重的原子核积累运动的速度要慢得多，从超级敏捷的电子角度来看，它也可以被视为静止不动。

相反，从原子核的角度来看，电子几乎是瞬间反应的。

这在量子力学视角中同样有效。在这里，检测到电子的概率变化比原子核概率变化快得多。一切看起来都好像原子核和电子生活在两个不同的世界里，至少在运动方面是这样。

从这个意义上说，多个电子和原子核运动的计算处理可以解耦，就好像它们生活在两个不同的模拟中一样，并且它们只以数学简化的方式相互作用。原子核确实作为粒子四处游荡，并为电子模拟提供可能的固定位置。电子反过来，采用这些固定位置并提供势能值，从中可以得出原子核之间的力。

现在，为了计算这些势能值，构建了一个纯粹针对电子的波函数，它考虑了固定位置的原子核（及其库仑势能）。

这里有一个技巧：我们对任何可能的电子波函数都不感兴趣，而是对电子由于辐射能量损失而随着时间的推移到达的波函数感兴趣——能量最低的波函数。为什么？因为那是较慢的原子核在大部分时间内有效地“看到”的波函数。记住，从它们的视角来看，电子反应如此之快，最终的电子波函数似乎几乎是瞬间建立起来的。

现在，最终的波函数是什么？它是第一驻波，能量与其振荡频率有关。这个驻波的确切形状显然取决于问题；对于单个氢原子，它是我开头展示的电子云之一；对于抽象的单粒子示例，它是我们用于简化的形状之一。但实际形状并不那么重要——重要的是相关的能量值。第一驻波及其频率，真正标志着在每个特定设置中可能的最低能量。

通过反复计算不同原子核位置的这些最低能量值，我们得到一个所谓的“原子间势能面”。它的导数给出了原子核之间的合力。

如你所见，这种势能的全面发展是有解释力的，但也令人筋疲力尽。所以，我们经常通过使用经验近似来绕过整个过程，比如 Lennard-Jones 势能，或者在这种原子间键合的情况下，Morse 势能。

原子核在这种原子间势能内的传播要么作为波函数本身发生，要么作为粒子发生。这里，原子核的粒子近似是合理的，因为对于越来越多的局部粒子，不确定性原理（对于越来越多的局部粒子）导致的动量上的较高扩展主要由较高的原子核质量建立，保持速度扩展，从而保持未来位置扩展，仍然很低。

好的，所有这一切还有很多东西。我不得不承认，回答任何一个问题都会立即给我们带来五个新问题。所以我们将在另一个系列中更详细地研究量子力学。对于我们在这里的目标——模拟流体——我们知道，有了这些关键假设，我们可以将原子模拟为在势能内沿轨迹移动的粒子，这样就可以了。

因此，原子可以形成分子，分子可以移动（或平移）、旋转、碰撞、振动等等。分子内的振动通常发生在更小的长度尺度上——我在这里真的夸大了它，以便让它可见。分子动力学近似的精度在很大程度上取决于系统的条件。因此，虽然我们主要处于经典力学环境中，但或多或少的部分模拟仍然可以用量子力学来表示。这取决于你想要达到的精度。从现在开始，我们完全使用经典力学。

所以，最后，为了建立模拟，我们需要指定质量和势能的参数。现在通常的做法（这使得这成为一种“经验”方法）是以这样一种方式设置这些值，即可以从许多分子相互作用中得出的统计行为与测量结果相匹配——所以它平均而言是合适的。至少，在你为其开发的条件范围内是这样。好的，我们并没有真正比较轨迹，而是比较更容易测量的派生量。让我们假设我们以某种方式找到了好的参数值。

我们现在可以做的是用瞬时碰撞代替基于分子间势能的相互作用。这将进一步降低计算成本。瞬时碰撞的计算速度更快——你基本上反映了速度——而且这里是可以的，因为它无论如何都是经验性的。我们可以修改两种变体的参数以产生相似的结果，至少从更远的角度来看是这样。

你看，我们正在慢慢地接受一种更经典的、统计的视角。当我们谈论下一层抽象时，我们会更精确地理解“从远处看”是什么意思。

请参阅，此处的示例简要介绍了我们如何通过关注全局动态来减少即将到来的层中的信息。

而且，需要明确的是，由于分子动力学而导致的简化不仅是通过组合亚原子粒子并简化势能来实现的。记住，这更多地是由于模拟过程可以在不同的机械领域内分解的本质。

在量子力学中，联合概率的高维位置空间是模拟的固有部分，这会显着增加每次迭代的计算成本。

在经典力学中，你也可以用概率来谈论，但你首先在相空间中计算一堆轨迹，然后进行平均。这总计为更少的计算成本。至少你可以选择牺牲统计能力来计算更少的轨迹。

所以，进入经典力学环境是关于我们可以模拟的流体体积的巨大飞跃！考虑到我有限的硬件，以及我专注于编写相当具有教育意义的代码，与我们可以模拟几个没有模态的亚原子粒子的量子力学相比，在分子动力学中，我们至少可以提出大约 100,000 个原子。所以我们增加了我们可以模拟的流体体积……好吧，让我们说我们开始拥有一个体积。

好的，我们正在慢慢地构建可以称为“流体”的东西。看看我们到目前为止所做的，下一层应该不足为奇。它只是将分子动力学的假设更进一步：气体动力学理论。

所以，当我们将亚原子粒子组合形成原子粒子时，下一个合乎逻辑的步骤是将原子粒子组合形成分子粒子。

这个名字说明了一切：它是“气体”的理论。所以，当粒子分散开来时，它应该效果最好，并且相互作用之间的自由飞行阶段比相互作用本身花费的时间长得多。因此，这些主要排斥的相互作用也可以被视为瞬时碰撞——就像在我们简化的分子动力学模拟中一样。

直观地看，这似乎是合理的，但让我们一步一步地看看它是如何运作的。

该方法用一个有效的碰撞半径表示一个具有单个点质量的分子。好的，质量应该是其组成部分的总和，但是半径呢？让我们通过实验来弄清楚这一点。我们使用标准的分子动力学模拟和经验势能来强调这个问题。

在这里，我们以相同的总能量向彼此发射分子，它们在碰撞前的轨迹之间有一个固定的偏移量。这里的总能量包括原子运动的动能，以及原子间键合的势能。毫不奇怪，我们有一个典型的散射模式。

现在，我们用分子粒子重复这个实验。由于这些只是具有有效碰撞半径的点质量，因此结果始终相同。这个模型根本没有能力表示更复杂的行为。

但这很好！这是我们用精度换取计算速度的机会。我们现在的任务是明智地选择最适合情况的半径。所以，也许是这样？

但我们遇到了一个问题。当我们改变碰撞前轨迹的距离时，选择的半径不再是最优的。所以我们最好选择一个适合所有实验的半径。但这有点棘手。

如果分子在势能的吸引部分占主导地位的距离处彼此通过，我们会看到一种弹弓机动，这无法用我们纯粹的碰撞模型来表示。好吧，我们可以用不同的初始距离和能量等等进行多次实验，看看哪个半径对大多数实验效果最好。但是我们如何评价这些实验对半径最终选择的影响呢？

好吧，只需不模拟单独的实验，而是将流体直接作为一个整体进行模拟！所有这些微小个体相互作用的碰撞前条件显然将具有它们在流体中经历的随机性，仅仅是因为它们在流体中！

记住，我们构建的流体无论如何都应该在平均意义上起作用。因此，我们必须将其全局统计行为与我们试图替换的流体的全局统计行为进行比较。

在这里，我们天真地只关注一个统计数据：粒子在不同层中的混合，或者说杂质。但是，有很多可能的全局统计数据需要查看。

所以这一切意味着，我们不应该考虑粒子相互作用，而应该考虑整体流体。粒子仍然存在于模拟中，但我们将注意力转移到更大的图景上。在这种轻松的视角下，即使流体在局部存在差异，只要它在全局上起作用就可以了。

所以，这些是允许我们将流体分子建模为碰撞粒子集合的关键假设，这结束了微观视角。

在下一部分中，我们将使用此模型推导出一个非常强大的抽象级别，使我们能够在任意大尺度上模拟流动——宏观视角。我们将学习压力、粘度、温度或流速等概念如何通过研究这些分子的运动和相互作用以超级直观的方式出现。

让我们回顾并强调我们迄今为止取得的成就。

我们从量子力学开始，了解了描述微观粒子行为的理论。我们发现，由于量子力学的复杂性，我们无法在量子层面上模拟大型流体系统。

为了解决这个问题，我们引入了分子动力学，这是一种将量子力学和经典力学结合起来的模拟方法。分子动力学可以帮助我们模拟包含数十万个原子的流体系统，从而得到流体的宏观行为。

为了进一步简化分子动力学模拟的计算量，我们引入了瞬时碰撞模型，该模型将原子间的相互作用简化为瞬时碰撞。瞬时碰撞模型是一种经验模型，它的参数需要通过实验数据来确定。

基于瞬时碰撞模型，我们得出了气体动力学理论，该理论可以帮助我们理解气体的宏观性质。气体动力学理论是一种统计理论，它将流体看作一个由大量分子组成的系统，这些分子之间通过瞬时碰撞相互作用。

我们从微观的量子力学世界过渡到宏观的气体动力学世界。在这个过程中，我们不断地简化信息，以便在有限的计算资源下模拟流体的行为。