命题的否定，你否定对了吗？

在今天上午，我的一个“挑战高考数学压轴题”中河北承德的王老师（是我省培时的“同学”哦），提到这样一种问题：

对于分式型不等式命题的否定应该是先否定再求解集，还是先求解集再否定呢？

并附例题如下：

我们发现两种看似完美的解法，却解出两种不同的答案，说明至少有一个是错误的。对于这个问题，群里一些教师进行了讨论，实际上这应该是一个困扰教师很久的话题，记得N年前，一次某市期末联考考到这种类型的问题，记得当时小编正好在市里阅卷，曾和一些教师与市数学教研员讨论，最终得到的是两种解法其中一定有一个是错误的，但是可能存在一些教师在教学过程中更侧重于某种理解，所以那次阅卷中，这两种解法都算对。事后，我对这一问题也进行了深入学习，并听取我们学校老教研组长的意见：如果对某一知识有疑问，那么就看教材。现将我的看法发表如下：

在实际教学中，学生学习了命题之后，其中对于命题的否定这一知识点，处理的方式有所欠缺，有的是对命题的否定和否命题之间的区别把握不准，还有就是对命题的否定不全面，从而导致结果有所偏差。今天小编主要对于命题的否定中存在的一个易错点，和大家分享下，希望引起同学们的注意。

我们仍回到最开始谈到的例题中：

刚才提到了，我们可以肯定，至少有一个解法是错误的，那么，到底那种解法是错的？又错在哪里呢？

让我们来分析一下上述两种解法的思路，看能否从中找到破绽，通过仔细观察，不难发现，两种解法的本质区别在于：解法一中，利用逆否命题的等价性解决问题，或是对命题的否定是先求出原命题所满足的范围，然后将范围进行否定，从而得到否定形式所表示的范围。解法二中对命题的否定是直接改变命题中的不等式的符号方向得到的，而也就是说，两种解法在求命题的否定形式所表示的范围时采取了不同的方式：一种是先求范围，再对范围进行否定；另一种是先写写出否定形式，再求范围。从理论上讲，这两种方法都是对的，可为什么出现了上述不同的两种结果呢？

而我们知道，原命题与它的否定形式是对立的，也就是说，它们所表示的范围的并集应该是全集，而上述两种范围的并集并非全集，正好缺两个数字“-1”和“2”。看来我们已经找到了错误的根源，实际上我们已经将2代入验证得到矛盾，同样我们将-1代入仍会得到同样的矛盾。

事实上，这个问题可以归结为含分式不等式的命题的否定，其实这个命题的否定中的一个误区，对于这类问题的否定，一定要注意，除了改变不等式的符号，还要加上分式无意义的情况，如果要彻底避免这类问题引发的错误，我们可以采取解法一的另解思路，先求出命题所表示的范围，再对范围进行否定，这应该是比较的解决方法。这只是在命题的否定中的一个问题，当然还有其他需要注意的地方，希望同学们要多归纳总结。