数学 第三章 一元函数的导数及其应用

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1、函数的单调性与导数的关系

1.函数y＝f (x)在区间(a，b)内可导，

(1)若f ′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；

(2)若f ′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；

(3)若恒有f ′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．

2.注意：(1)求函数单调性或函数单调区间实质是解不等式，求解时“定义域优先”.

(2)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

(3)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．

(4)函数在某范围内为减函数与函数的单调递减区间为某范围的区别在于：前者是后者的子集，能在函数的单调递减区间内取1个子区间范围，则做到在此区间上内为减函数。

(参MK20T61)所以函数在某范围内为减函数就让端点处的导数≤0。函数的单调递减区间为某范围则这俩端点是俩零点也就是导数为0方程的根。

2、零点 (MK2、3函数.6.2)：

1.函数的零点:对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．

2.方程、函数、函数图象之间的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3.函数零点存在定理: 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

也就是：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.

3、含参函数单调性的分类讨论：

1.分类讨论依据：

(1)导函数有无零点或零点有无意义

(2)导函数的零点是否在定义域或区间内

(3)导函数多个零点时的大小讨论。

20.4 函数极值与最值：

1、函数的极值

1.函数的极小值：

y＝f(x)在点x＝a函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a是y＝f(x)极小值点，f(a)是y＝f(x)极小值．

2.函数的极大值：

y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)是函数y＝f(x)的极大值．

3.极值点：

(1)极小值点和极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

(2)可导函数在极值点处的导数值特点：导数值是0 .即若x0 是极值点则f′(x0)＝0 。这是其充分不必要条件。∵f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点，例如f(x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点。进一步理解涉及极限的保号性。

(3)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.且极值点是函数在区间内部的点，不会是端点。

(4)极值定义中并不要求函数可导。但不可导函数仍可有极值点，如f(x)＝|x| 中x=0是极小值点。

2、函数的最值

1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点x0指：函数在此区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．

2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点x0指：函数在此区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

3、极值与最值：

1.极值只能在定义域内部取得。极值点是函数在区间内部的点，不会是端点。而最值可在区间的端点取得，即最值在端点处或极值点处产生。若在开区间上单调则无最值因为端点值取不到。开区间的极值点一定是最值点。

2.极值是与它的两侧相比，由单调性判断的。最值是函数在定义域或指定区间范围内的最大最小值。极值由函数图像决定，最值不仅由函数图像还能由给定区间决定。

3.极值未必是最值，有最值的未必有极值；极值可能是最值，最值只要不在端点必定是极值．

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