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求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的条件,用“坐标化”将其转化为变量间的关系. 求曲线的轨迹方程是求解其他问题的基础,同学们要掌握好. 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、相关点法、定义法、参数法等,下面举例说明.
一、 直接法
直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式化简即得动点的轨迹方程的方法. 问题的呈现通常有两种形式:一种是明确给出等式,求轨迹方程;另一种是给出条件,寻找等量关系,求轨迹方程.
【点评】 当所求动点满足的条件简单明确时,可按建系—设点—列式—化简的步骤求轨迹方程. 直接法的实质就是“求什么,设什么”,该方法直接实用,但要注意查漏补缺. 用直接法时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程,要注意“翻译”的等价性.
二、 相关点法
当动点M(x,y)的坐标取决于已知曲线C上的动点P(a,b)的坐标,即M为被动点,P为主动点. 可用x,y来表示a,b,再代入曲线C的方程,即可得点M的轨迹方程.
【点评】 该方法巧设中间变量,最后把中间变量消掉,求得轨迹方程. 这种方法思路简单,在求轨迹方程时经常用到,同学们要掌握好.
三、 定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义或特征,再求出该曲线的相关参数,从而得到轨迹方程.
【点评】 用定义法求轨迹方程的步骤:(1) 判断动点的运动轨迹满足哪种曲线的定义;(2) 设标准方程,求出方程中的基本量;(3) 求出轨迹方程.
四、 参数法
参数法是指先引入一个中间变量(参数),使所求动点的横、纵坐标[x,][y]之间建立联系,然后消去参数,得到[x,][y]之间的直接关系式,即得到所求的轨迹方程.
现对一道典型例题展开多角度研究,供同学们学习时参考.
一、 直接法
二、 相关点法
三、 定义法
四、 参数法
五、 向量法
即以向量作为工具寻找等量关系.
【点评】 当题目中含有“垂直”、“共线(平行)”这样的关系时,可利用向量转化为向量关系式,如a⋅b=0,a=λb等,再利用向量运算法则去求解. 体现了知识之间的交叉、渗透与融合.
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