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前面的文章主要介绍了旋转矩阵，对于刚体的运动，除了旋转外还有平移。在机器人及自动驾驶中，经常用齐次变换矩阵将旋转和平移进行统一。 前面的文章也介绍过齐次变换矩阵，本文算是一个总结。

1. SE(3)

将旋转矩阵和平移向量写在同一个矩阵中，形成的矩阵，称为special Euclidean group,即，

很容易验证，齐次变换矩阵满足群所具有的性质，即封闭性，结合律，幺元，逆，所以称其为group是合理的。

此外齐次变换矩阵还能保持变换前后的距离和角度不变，假定，同时，则有，

2. 齐次变换矩阵的用法

2.1 描述坐标系

如上图所示，，假设fixed frame为，和重合，则,,可以描述为下面的公式1：

其中，

2.2 向量(坐标系)在不同坐标系下的描述

对于任意三个坐标系，在下为,

在下为。

2.3 对向量(坐标系)进行平移和旋转

可以将齐次变换矩阵写为公式1，这里将改写为齐次形式，为了便于标记，

假设body frame相对于fixed frame的描述为，则下面讨论左乘和右乘的区别，分别记为公式2和公式3，

以下图为例，假设，,，分析左乘和右乘的区别，

首先是左乘，如上图左边所示，根据公式2： 首先分析，首先以为基准进行旋转，为绕着旋转，将按照图中①的方式进行了旋转; 然后再左乘，将①的结果沿着移动2个单位，即得到图中②最终的结果。

其次是右乘，如上图右边所示，根据公式3： 首先分析，首先以为基准进行平移，即沿着平移2个单位，，即得到图中的①； 然后再右乘，以为基准进行旋转，即沿着旋转，得到图中②的结果。

综上所述，

左乘齐次矩阵，首先以为基准进行旋转，然后以为基准进行平移；

右乘齐次矩阵，首先以为基准进行平移，然后以为基准进行旋转。