矩阵与矩阵乘积简介

矩阵与矩阵乘积简介向量是存储和操作数据的一种有用的方法,可以用箭头或数字数组来表示它们。然而,创建更复杂的数据结构是有帮助的,这正是需要引入矩阵的地方。介绍矩阵是正方形或矩形数组,包含两个维度:行和列,我们可以把它看作是一个电子表格。

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向量是存储和操作数据的一种有用的方法,可以用箭头或数字数组来表示它们。然而,创建更复杂的数据结构是有帮助的,这正是需要引入矩阵的地方。

介绍

矩阵是正方形或矩形数组,包含两个维度:行和列,我们可以把它看作是一个电子表格。通常会在数学上下文中看到术语矩阵,在Numpy上下文中看到二维数组。

维度

在矩阵的上下文中,术语维度不同于向量表示的维数(空间维数)。当我们说矩阵是二维数组时,意味着数组中有两个方向:行和列。

矩阵表示如下:

矩阵与矩阵乘积简介

矩阵A有两行两列,如果矩阵有m行和n列,并且包含实值,可以用以下符号来刻画它:A∈ℝ(m×n)。

我们可以使用不带粗体的矩阵名称引用矩阵中的元素,但是后面需要跟着行索引和列索引。例如,$ A_{2, 1}$表示第一行和第二列中的元素。

按照惯例,第一个索引用于行,第二个索引用于列。例如,上面提到的例子位于矩阵A的第二行和第一列,因此它被表示为$A_{2, 1}$。

矩阵分量可以写如下:

矩阵与矩阵乘积简介

图1:矩阵是二维数组,行数通常用m表示,列数用n表示。

数组的形状给出了每个维度中元素的数量,如图1所示。由于此矩阵是二维的(行和列),因此需要两个值来描述形状(按此顺序排列的行数和列数)。

我们先用这个方法np.array()创建一个2维numpy数组。

A = np.array([[2.1, 7.9, 8.4], [3.0, 4.5, 2.3], [12.2, 6.6, 8.9], [1.8, 1., 8.2]])

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注意,我们使用数组中的数组([[]])来创建二维数组。这与创建一维数组的不同之处在于所使用的方括号数。

与向量一样,可以访问Numpy数组的shape属性:

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!A.shape

可以看到该形状包含两个数字:它们分别对应于行数和列数。

要获得矩阵元素,需要两个索引:一个引用行索引,一个引用列索引。

使用Numpy,索引过程与向量的索引过程相同,只需要指定两个索引。我们再来看下面的矩阵A:

A = np.array([[2.1, 7.9, 8.4], [3.0, 4.5, 2.3], [12.2, 6.6, 8.9], [1.8, 1.3, 8.2]])

可以使用以下语法获取特定元素:

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!A[1, 2]

[1,2]返回行索引为1、列索引为2(以零为基础的索引)的元素。

要获得完整的列,可以使用冒号:

A[:, 0]
array([ 2.1, 3. , 12.2, 1.8])

这将返回第一列(索引0),因为冒号表示我们需要从第一行到最后一行的元素。同样,要获取特定行,可以执行以下操作:

A[1, :]
array([3. , 4.5, 2.3])

能够操纵包含数据的矩阵是数据科学家的一项基本技能。检查数据的形状对于确保数据的组织方式非常重要。了解使用Sklearn或Tensorflow等库所需的数据形状也很重要。

对于Numpy,如果数组是向量(1D Numpy数组),则shape是单个数字:

v = np.array([1, 2, 3]) v.shape

如果是矩阵,则形状有两个数字(行和列中的值的数目)。例如:

A = np.array([[2.1, 7.9, 8.4]]) A.shape

形状的第一个数字是1。使用两个方括号[[和]],可以创建一个二维数组(矩阵)。

矩阵乘积

接下来我们将在数据科学基础数学中学习乘积。矩阵的等价运算称为矩阵乘积或矩阵乘法,它接受两个矩阵并返回另一个矩阵。这是线性代数中的一个核心运算。

矩阵乘积的更简单的情况是介于矩阵和向量之间(可以将其视为矩阵乘积,其中一个向量只有一列)。

矩阵与矩阵乘积简介

上图说明了矩阵和向量之间乘积的步骤。让我们来看矩阵的第一行,在向量(值3和4)和行(值1和2)之间进行点积。第一行的第一个值的与第一列的第一个值(1⋅3)和第一行第二个值与第一列的第二个值(2⋅4),它计算的矩阵的第一个元素是(1⋅3 + 2⋅4 = 11)。

你可以看到矩阵乘积与点积相关,就像把矩阵A分成三行并应用点积(如数据科学的基本数学)。

看看它是如何与numpy一起工作的。

A = np.array([ [1, 2], [5, 6], [7, 8] ]) v = np.array([3, 4]).reshape(-1, 1) A @ v
array([[11], [39], [53]])

请注意,我们使用了reshape函数将向量重塑为一个2乘1的矩阵(-11告诉Numpy猜测剩余的数字)。如果没有它,将以一维数组结束,而不是这里的二维数组(只有一列的矩阵)。

还有另一种方法来考虑矩阵乘积,可以考虑向量包含了对矩阵的每一列加权的值。它清楚地表明,向量的长度需要等于应用向量的矩阵的列数。

下图可能有助于将这个概念形象化。可以将向量值(3和4)视为应用于矩阵列的权重。前面看到的标量乘法规则会产生与以前相同的结果。

使用最后一个示例,可以编写A和v之间的乘积,如下所示:

矩阵与矩阵乘积简介

这一点很重要,因为正如你在数据科学基础数学中看到的更多细节,它表明Av是A的列的线性组合,系数是v的值。

另外,你可以看到矩阵的形状和向量的形状必须匹配才能得到乘积。

矩阵乘积类似于矩阵向量积,但应用于第二个矩阵的每一列。

使用Numpy,可以精确地计算矩阵乘积:

A = np.array([ [1, 2], [5, 6], [7, 8], ]) B = np.array([ [3, 9], [4, 0] ]) A @ B
array([[11, 9], [39, 45], [53, 63]])

与矩阵向量积一样,第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相匹配。

结果矩阵的行数与第一个矩阵的行数相同,列数与第二个矩阵的列数相同。

我们试试吧。

A = np.array([ [1, 4], [2, 5], [3, 6], ])
B = np.array([ [1, 4, 7], [2, 5, 2], ])

矩阵A和B有不同的形状。让我们计算他们的乘积:

A @ B
array([[ 9, 24, 15], [12, 33, 24], [15, 42, 33]])

你可以看到A⋅B的结果是一个3乘3的矩阵。这个形状来自A(3)的行数和B(3)的列数。

可以使用矩阵与其转置矩阵之间的乘积计算数据集的协方差矩阵,然后除以观测值(或贝塞尔修正值减去1),但是需要事先确保变量的中心在零左右(这可以通过减去平均值来实现)。

让我们模拟以下变量x、y和z:

x = np.random.normal(10, 2, 100) y = x * 1.5 + np.random.normal(25, 5, 100) z = x * 2 + np.random.normal(0, 1, 100)

使用Numpy,协方差矩阵为:

np.cov([x, y, z])
array([[ 4.0 , 4. , 8.0], [ 4. , 32., 9.], [ 8.0, 9., 16.]])

现在,使用矩阵乘积,首先进行堆叠:

X = np.vstack([x, y, z]).T X.shape

你可以看到变量X是一个100×3的矩阵:100行对应于观察值,3列对应于特征。然后,把这个矩阵减去均值:

X = X - X.mean(axis=0)

最后,计算协方差矩阵:

(X.T @ X) / (X.shape[0] - 1)
array([[ 4.0 , 4. , 8.0], [ 4. , 32., 9.], [ 8.0, 9., 16.]])

你会得到一个协方差矩阵,与函数np.cov中得到的协方差矩阵相似,这一点很重要,要记住一个矩阵的转置乘积对应于协方差矩阵。

两个矩阵之间乘积的转置定义如下:

矩阵与矩阵乘积简介

例如,取以下矩阵A和B:

A = np.array([ [1, 4], [2, 5], [3, 6], ]) B = np.array([ [1, 4, 7], [2, 5, 2], ])

你可以检查(AB)^T和B^T A^T的结果:

(A @ B).T
array([[ 9, 12, 15], [24, 33, 42], [15, 24, 33]])
B.T @ A.T
array([[ 9, 12, 15], [24, 33, 42], [15, 24, 33]])

两个向量或矩阵在括号中的顺序必须改变,以满足等价性。如果改变向量和矩阵的顺序,矩阵乘积的转置等于转置的乘积。

可以将此属性应用于两个以上的矩阵或向量,例如这样。

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