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证明:闭区间[a,b]的全体聚点的集合是[a,b]本身.
这个看似简单的问题,证明起来可一点儿也不简单哦!它需要从两个方面去证明,至少需要三个步骤。一方面要证明区间上的点都是它的聚点,而这些点又分为非端点和端点两种情况,它们的证明方法是相近但不相同的。另一方面要证明区间的聚点都属于这个区间。难道还有不属于某区间的区间聚点吗?这话说起来相当拗口。不过还真的有,比如实数域的开区间的两个端点都是开区间的聚点,但这两个聚点并不属于开区间。
按照这个思路,开始证明。以下的证明是基于聚点的定义的。如果对聚点的定义不理解,可参考《老黄学高数》系列视频第216讲,关于聚点定义的内容介绍,以及此后各讲中对聚点内涵的解释。
证:设x∈[a,b], 若x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|}>0,则【先证区间上任意点中的非端点都是聚点的情形。取非端点的任意点x,与两个端点的距离中,较小的那个为δ,这样做是为了使x的δ邻域包含于闭区间,以减少区间外的点的干扰】
U(x,δ)⊂[a,b],从而对任给的正数ε(<δ),有U(x,ε)⊂[a,b].【因为δ对某一x来说是一个定值,而我们探究聚点,是需要在一个可以无限小的邻域上的,因此重新取一个任给的正数ε,因为可以任意小,所以不妨设它比δ还小】
又U(x,ε)中含有[a,b]的无限多个点,∴x是[a,b]的聚点.【这个说法有点太过直接,应该设计一个点列{x+1/n}或{x-1/n},则它们中任一个都收敛于x, 所以在U(x,ε)上有它们的几乎所有点,而这些点也都属于[a,b],从而x就是[a,b]的聚点】
若x=a,则对任给的正数ε(<b-a),有U+(a,ε)⊂U(a,ε),【左端点的情况,只需取ε小于区间的长度,并仅探究右邻域的情形】
且U+(a,ε)⊂[a,b],即U(a,ε)内含有[a,b]的无限多个点,【类似的,只要设计一个点列{a+1/n}收敛于a,就可以说明为什么这个邻域包含闭区间的无限多个点】
∴a是[a,b]的聚点. 同理可证,b是[a,b]的聚点.【左端点则设计点列{b-1/n}收敛于b,可证】
又设x是[a,b]的聚点,若x∉[a,b],则x<a或x>b,【又证闭区间的所有聚点都在闭区间上,用反证法,如果不在闭区间上,要么这个点小于a,要么大于b】
若x<a, 取0<ε<a-x; 若x>b, 取0<ε<x-b,则U(x,ε)∩[a,b]=∅,【如果这个点小于a,就取ε小于这个点与左端点的距离,如果大于b,就取ε小于这个点与右端点的距离,不论哪种情况下,这个点的ε邻域都与闭区间不相交,即交集为空集,从而也就不可能含有闭区间的无限多个点了】
即U(x,ε)中不含[a,b]的点,矛盾,∴x∈[a,b].【由聚点的定义可知,这个点不是聚点,与假设矛盾】
∴闭区间[a,b]的全体聚点的集合是[a,b]本身. 得证!
这个证明,既保证了数学的严谨性,又能巩固相关的知识,加深对极限、聚点等抽象概念的理解,所以是非常有意义的哦。
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