二次函数在闭区间上的最值一一记住这几点再也不用愁了

二次函数在闭区间上的最值是高中数学中出现最多的题型，好多问题通过转化最后归结为求二次函数在闭区间上的最值。

二次函数在闭区间上的最值，与抛物线的开口方向和对称轴在区间上的位置有关。以开口向上的抛物线为例，给定区间[m，n]，对称轴可能在区间上，也可能位于区间的左右两侧，分三种情况讨论：

一、最小值的求法

(1)区间[m，n]在对称轴的左侧，如图1，函数f(X)在区间[m，n]上单调递减，最小值为f(n)；

(2)区间[m，n]在对称轴的右侧，如图2，函数f(X)在区间[m，n]上单调递增，最小值为f(m)；

(3)对称轴在区间[m，n]内，如图3，函数f(X)在区间[m，n]内先减后增，最小值在顶点处取得。

二、最大值的求法

因为抛物线开口向上，最大值只可能在端点处取得。若对称轴X>(m+n)/2，则最大值为f(m)；若对称轴X<(m+n)/2，则最大值为f(n)。若对称轴X=(m+n)/2，则最大值=f(m)=f(n)。实际操作时作差f(m)一f(n)比较大小。

若抛物线开口向下，类比得出。

例1.求二次函数f(X)=X²一2Ⅹ+2，X∈[t，t+1]的最小值。

[思路探寻]对称轴确定，区间在移动，可移动到对称轴的左边、右边、包含对称轴，依单调性求出最小值。

[解析]当t+1≤1即t≤O时，函数在区间[t，t+1]上单调递减，最小值m=f(t+1)=t²+1；

当t≥1时，函数在区间[t，t+1]上单调递增，最小值

m=f(t)=t²一2t+2；

当t<1<t+1即0<t<1时，函数在区间[t，t+1]上先减后增，最小值m=f(1)=1。|

[迁移]例1条件不变，改为求最大值。

[略解]f(t)一f(t+1)=t²一2t+2一[(t+1)²一2(t+1)+2=一2t+1

当一2t+1≥0即t≤1/2时，f(t)>f(t+1)，最大值M=f(t)=t²一2t+2；

当一2t+1<O即t>1/2时，f(t)<f(t+1)，最大值M=f(t+1)=t²+1。

得

例2、求二次函数f(Ⅹ)=X²一2aX一1(X∈[0，2])的最大值。

[思路探寻]抛物线开口向上，最大值只可能在端点处得到。

[解析]f(2)一f(0)=4(1一a)，

当a<1时，f(2)>f(0)，

最大值M=f(2)=3一4a；

当a≥1时，f(2)<f(0)，

最大值M=f(0)=一1。

例3函数f(×)=X²+2X+3，X∈[m，O](m<O)的最大值为3，最小值为2，求m的取值范围。

[思路探寻]抛物线开口向上，对称轴X=一1，f(0)=f(一2)=2，

f(一1)=3，作图观察易知一2≤m≤一1。

(解略)

例4.设a>0，函数f(X)=一X²一aX+b+1(X∈[一1，1])的最大值为0，最小值为一4，求a，b的值。

[思路探寻]抛物线开口向下，对称轴X=一a/2<O<1，所以对称轴可能在区间上，也可能在区间的左边，要比较一a/2与一1的大小。分两类讨论。

[解析]当a≥2时一a/2≤一1，对称轴在区间左边，函数f(X)在区间[一1，1]上单调递减，得f(一1)=0且f(1)=一4，求得a=2，b=一2；

当O<a<2时，一1<一a/2<0，最大值在顶点取得，由于1离对称轴更远，所以最小值为f(1)，即f(1)=一4且f(一a/2)=0，此方程组无解。

综上所述a=2，b=一2。

例5.已知二次函数f(X)=一1/2X²+X，定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，求m，n的值。

[思路探寻]定义域和值域都未知，按常理要讨论对称轴x=1与区间[m，n]的位置关系，两个字母，想想都难。需另辟蹊径。注意到f(X)=一1/2(X一1)²+1/2≤1/2，由值域得2n≤1/2，n≤1/4，又对称轴为X=1，而n<1，∴定义域[m，n]在对称轴左边，因抛物线开口向下，故函数f(X)在区间[m，n]上单调递增，

∴f(m)=2m且f(n)=2n，

故m，n是方程一1/2X²+X=2X的两个实根，解得m=一2，n=0。最后求m，n的值又联想到一元二次方程的两个根，从而简化运算。

[解析]f(x)=一1/2X²+X=一1/2(X一1)²+1/2≤1/2，由值域得2n≤1/2，n≤1/4，又定义域为[m，n]

∴区间[m，n]在对称轴左侧，函数f(x)在区间[m，n]上单调递增，

∴f(m)=2m且f(n)=2n

∴m，n是方程一1/2X²+X=2X的两个实数根，又m<n，

∴m=一2，n=0

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