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再前面的文章中,我们讨论过三角函数的基础底座公式为:(之前文章也证明过,具体可以查看)
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinβsinα
sin²α+cos²α=1
本文来探讨下三角函数和差化积的推导和实际应用:
三角函数和差化积的定理:
cos(α+β)/2.cos(α-β)/2=1/2(cosα+cosβ)
sin(α+β)/2.cos(α-β)/2=1/2(sinα+sinβ)
sin(α+β)/2.sin(α-β)/2=1/2(cosβ-cosα)
sin(α-β)/2.cos(α+β)/2=1/2(sinα-sinβ)
一: 推导证明过程:
因为: α=(α+β)/2+(α-β)/2 β=(α+β)/2-(α-β)/2
sinα=sin((α+β)/2+(α-β)/2) ,sinβ=sin((α+β)/2-(α-β)/2) 利用和差公式展开
sinα=sin(α+β)/2.cos(α-β)/2+cos(α+β)/2.sin(α-β)/2
sinβ=sin(α+β)/2.cos(α-β)/2-cos(α+β)/2.sin(α-β)/2
以上两个等式相加或相减
sinα+sinβ=2.sin(α+β)/2.cos(α-β)/2
sinα-sinβ=2sin(α-β)/2.cos(α+β)/2
所以:sin(α+β)/2.cos(α-β)/2=1/2(sinα+sinβ) sin(α-β)/2.cos(α+β)/2=1/2(sinα-sinβ)
同理利用如上的方法展开 cosα,cosβ 证明
二: 习题举例:
雅礼中学最新月考试题:选择压轴
分析解答: 2cos40°+cos80°=cos40°+cos40°+cos80°=cos40°+2(cos(40+80)/2.cos(80-40)/2)
=cos40°+2.cos60°.cos20°=cos40°+cos20°=2.cos(40+20)/2°.cos(40-20)/2°
=2.cos30°.cos10° =2.cos30°.sin(90-10)°=2cos30°.sin80°
2cos40°+cos80°/ sin80°=2cos30°.sin80°/sin80°
答案: A
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