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我们学习函数这一章节,一定会学习函数的奇偶性。
关于函数奇偶性有以下问题要弄清楚:
1.奇偶函数的定义是什么?
2.函数一定有奇偶性吗?
3.奇函数的图象及性质如何?
4.偶函数的图象及性质如何?
5.如何判断一个函数是否奇偶函数?
首先,我们来看看奇偶函数的定义:
奇函数定义:奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= – f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。
对定义理解:
①定义域关于原点对称。
②f(-x)= – f(x)
等价表达f(-x)+ f(x)=0
这两条是奇函数必备条件,缺一不可。
偶函数定义:对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数(Even Function)。
对定义的理解:
①定义域关于原点对称。
②f(-x)= f(x)=f(|x|)
等价表达:f(-x) – f(x)=0
定义可以做为判断函数是否为奇偶函数的方法。
其流程如下:
2.一个函数一定是奇函数或是偶函数吗?
答案是不一定。
函数于奇偶,一定是以下四种情形:
①是奇函数,非偶函数。
②是偶函数,非奇函数。
③既是奇函数,又是偶函数。
④既不是奇函数,也不是偶函数。
解答:
⑴,定义域为R,关于原点对称,f(-x)=f(x)为偶函数
3.奇偶函数图像有什么特点?
奇函数图象关于原点对称。
偶函数图象关于y轴对称。
正因为此特点,也可以根据图象判断一个函数是奇函数,还是偶函数。
4.如何判断一个函数是否奇偶函数?
①依定义判定
②依图象判定
③依定理判定:
⑴奇×奇为偶函数
⑵奇×偶为奇函数
⑶偶×偶为偶函数
⑷奇函数与奇函数复合为奇函数
⑸偶函数与偶函数复合为偶函数
⑹偶函数与奇函数复合为奇函数
5.任一定义域关于原点对称的函数都是奇函数与偶函数的和。
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