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平面几何解题方法
文/刘蒋巍
平面几何主要研究平面图形的几何结构和度量性质。在国内外各类中学数学竞赛中,平面几何问题常常因其精巧的构思、优美的图形结构和多样化的解法而受到特别青睐。
相对于中学数学课程的内容,竞赛中的平面几何问题所涉及的概念、定理和方法有大幅的扩展。
常见的平面几何解题方法,包括:面积法、复数法、同一法,等。
面积法
面积是一个重要的几何概念。在求解问题时,以考虑面积作为计算或论证的出发点、寻求几何对象之间关系的方法,称为面积法。
面积法常常可以用来解决与面积不明显相关的几何问题。例如,勾股定理,其许多证法都采用了“以不同方式计算同一图形的面积”的思路。
作为平面几何中的基本图形——三角形,其面积具有多种表示形式。由这些公式既可以推导其他图形的面积公式,也可以得到一些与面积有关的性质定理。
为方便起见,通常用记号S表示平面简单封闭图形的面积。以下是两个常用结论。
借助这两个结论,可使线段比与面积比相互转化,在解题中具有相当的实用性。
三角形的面积公式揭示了边、角等基本元素之间的关系,且常常涉及内切圆半径、外接圆半径等相关量,这是运用面积法解题时值得注意的。
此外,一些重要的平行关系都是通过面积导出的。以面积为线索常常能够方便地沟通几何元素,降低添置辅助线的技巧要求,减少分析问题的困难。
复数法
复数的四则运算、共轭运算、模运算等,均有鲜明的几何意义。特别是在解决与角度、旋转有关的几何问题时,复数乘除法的几何意义可以很好地用来描述条件和转化命题,使得复数法与解析、三角、向量等其他计算类方法相比,有其独特的效果。
同一法
同一法是一种典型的间接证明方法,在一个命题中,当满足题设的对象α具有唯一性,而又不易证明α满足结论时,可以先引入一个满足结论的对象α',然后尝试证明α'也满足题设,从而由唯一性知α'与α是同一对象。这样就间接证明了α满足结论。
此外,要解答好平面几何问题,常见的定理结论,如:等差幂线定理、共边比例定理、分角定理、 张角定理、梅涅劳斯(Menelaus)定理、赛瓦(Ceva)定理、Pascal定理、三角形五心(内心、外心、重心、垂心、旁心)性质、等角共轭、Simson定理、托勒密(Ptolemy) 定理、三弦定理、Stewart 定理、欧拉定理、欧拉线、欧拉圆、圆幂定理、根轴、根心、内外角平分线定理、线段的“分割比”、阿波罗尼斯圆、调和点列、线束等,都是需要掌握的。
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