如何用二分法求函数的“零点”的近似值

什么是二分法？

定义：对于区间 【a , b】上连续的，且 f ( a ) – f ( b ) < 0 的函数 y = f ( x ) ，通过不断地把函数 f ( x ) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

怎么用二分法求函数的零点的近似值？

用二分法求函数零点的近似值步骤如下：

第一步：确定区间 【a , b】，验证：f(a) · f（b）＜0，给定精确度；

第二步：求区间【a , b】的中点 x1；

第三步：计算 f ( x1 ) ；

若 f ( x1 ) =0，则 x1 就是函数零点；

若 f(a) · f（x1）＜0，则令 b = x1；

若f( x1) · f（b）＜0，则令 a = x1 ；

第四步：判断是否达到精确度 ε ，即若 ∣a – b ∣ < ε ，则得到零点近似值 a （或 b），否则重复第二、三、四步。

例题演练与讲解

例题1、函数图象与 x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是 ( B )。

例题1图

解析：选项 B 中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解。

例题2、函数y＝f(x) 在区间 [a，b] 上的图象不间断，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上 ( C ) 。

A、只有一个变号零点 B、有一个不变号零点 C、至少有一个变号零点 D、不一定有零点

例题3、用二分法求函数 f(x)＝x^3－2的零点时，初始区间可选为 ( B ) 。

A、(0,1)　 B、(1,2)　 C、(2,3)　 D、(3,4)

例题4、求函数f(x)＝x^3＋2x^2－3x－6 的一个为正数的零点(精确到0.1)。

解：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间 [1,2] 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

例题4图

因此可以看出，区间 [1.718 75,1.734 375] 内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7 就是所求函数精确到0.1的实数解。

例题5、用二分法求方程x^3＋3x－7＝0 在(1,2) 内近似解的过程中，设函数f(x)＝x^3＋3x－7，

算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间( B ) 。

A、(1,1.25) B、(1.25,1.5) C、(1.5,1.75) D、(1.75,2)

例题6、给出以下结论，其中正确结论的序号是________。

①函数图象通过零点时，函数值一定变号；

②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根；

④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．

答案： ②③

例题7、在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算， f(0.64)<0, f(0.72)>0, f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( C ) 。

A、0.68 B、0.72 C、0.7 D、0.6

例题8、已知函数f(x)＝ax^3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点, 若a＝32/17 , 用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根。

解：

例题8图

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