翻译小组成员介绍: Alex

Alex，英语爱好者，现工作于洛阳

文章: betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-sine-waves/

译者: Alex 校对: 向海飞 版面: 公理

无形之 π- Pi Without Pictures

书接上文(点击正弦曲线的可视化直观解释 第一部查看第一部), 让我们继续探索正弦曲线/正弦波…

假设Alien本人视力极差，仅能模糊地分辨明暗阴影。怎样向他描述 π 呢？因此就很难让Alien明白圆周的概念，对吧？

退一步，以旁观者的角度来观察。正弦是一个循环图案，意味着它要不断地重复！从0增加到1，然后开始减小到0，继续减小到-1，然后又回到0，周而复始。

定义π为正弦从0增加到1并回到0所需要的时间。这样一来，就可以脱离圆来使用π了。其实π的概念只是凑巧被显示在圆内罢了。

• 正弦是一种平缓的来回摆动
• π是正弦从中间位置摆动到最大值然后回到中间位置所需要的时间
• n*π（0*π，1*π，2*π，如此类推）是正弦运动处于中间位置的时刻
• 2*π，4π，6*π等等，是正弦运动完成整数倍循环的时刻

这就是π经常出现在公式里的原因！π和0和1一样并不属于圆 – π用于描述正弦运动回到中心位置的时刻。而圆只是一个与π相关的图形，它不断重复，并每2*π个单位时间回到原位一次。其实，弹簧，琴弦震荡等正弦运动也是每π个单位时间回中心位置一次。

▌问题：如果π是半个循环，为何不是一个简单的整数呢？

这得先从另外一个问题入手。为何一个边长为1的正方形有一个长度为根号2（=1.414…一个无理数）的对角线？

当数学遇到难以解释的自然现象时，就会带来哲学上的困惑。虽然直觉不佳，但我仍然本能的意识到简单的规则（边长为1的正方形配上勾股定理）同样可以解决复杂的问题。

正弦运动有多快？- How Fast Is Sine?

前面，我“设想正弦运动从0到最大值需要10秒”。现如今，我又说正弦运动从0到最大值然后返回0需要π秒。那么正弦运动到底有多快呢？

• sin(x)是正弦波的一种最为常见的表达式。它的确需要π个单位时间从0到最大值并返回0（或者需要2*π个单位时间完成一个循环）
• sin(2x)的速度快一倍
• sin(x/2)的速度慢一倍

以此类推，我们可用sin(n*x)来获得指定速度的正弦波。但通常情况下，“正弦波”指一种图形，而非速度。

第二部分：理解正弦波的定义 – Part 2: Understanding The Definitions Of Sine

这部分内容有些费脑 –如觉必要可先放松一下。通过上述学习，希望已经对正弦有了基本概念。接下来学习正弦的常用定义，研究之间的相互关系，并建立起“正弦直觉”。

定义1：三角形的高和圆 – Definition 1: The Height Of A Triangle / Circle!

正弦首先是在三角形里发现的。你也许还记得我在文首念叨的“正弦，余弦，正切”

• 正弦: 正弦是对边除以斜边

SOH: Sine is Opposite / Hypotenuse

• 余弦:余弦是邻边除以斜边

CAH: Cosine is Adjacent / Hypotenuse

• 正切:正切是对边除以邻边

TOA: Tangent is Opposite / Adjacent

直角三角形中，sin(x) 是角x的对边除以斜边。如果定义斜边为1，可以简化为：

• 正弦=对边
• 余弦=邻边

进一步，我们可以将斜边为1的三角形画在半径为1的圆内。

单位圆内的正弦

如果使用等比缩放的方法，一个圆可以包含所有的直角三角形。例如：

• sin(45) = 0.707
• 将一根100英尺长竹竿一端抬高与地面形成45度角。则竹竿的最高点离地面10 * sin(45) = 7.07英尺。
• 一个8英尺的竹竿将离地面8 * sin(45) = 5.65英尺。

这种方法对建筑业意义非凡（不用实测金字塔就可得到相关尺寸）。遗憾的是，千年之后，我们却开始相信正弦是三角形的高。我们对正弦误解太深，它其实是一种显示在圆（和三角形）中的形状。

实际上，在许多问题上我们都会运用“图形模式”思考，想着正弦等于三角形的高，以提高解题效率。这很好，但别局限于此。

定义2：无穷级数 – Definition 2: The Infinite Series

我们此前避开了一个重大问题：怎样计算正弦值？计算器是通过画圆并测量长度得到正弦值的吗？

只是开个玩笑而已。下面来解开正弦的秘密：

正弦是与当前位置相反的加速度

以银行账户为例：你有一个固执的老板，他执意根据银行账户来确定你的工资增幅，并且增幅与你账户余额恰好相反。比如账户现有50美元，那么你下周工资增幅就是-50美元。当然，假如你当前本周工资是75美元，因此下周你仍然有25美元的收入(75-50)。但是，当这种“负的增幅”最终超过你的收入时，你账户就开始透支了。

但是，也用不着担心！一旦你的账户变成负的（比如为-50美元），老板会给你每周50美元的增幅。下周你的收入可能仍然负的，但是“正增幅”最终增幅会超过它，你的账户就开始增长。

恒定的向心力使循环得以持续：上升时，向心力会偷偷把你拉回来。这也解释了为什么正弦波在中间位置速度最快：从最大值开始的回落过程不断积累“负增长”。到达中间位置时，“负增长”达到最大。一旦越过中间位置，开始获得正能量，并逐渐放缓。

题外话：既然正弦是与当前位置相反的加速度，而圆又是由水平和垂直正弦波组成…所以，圆周运动可以描述为：在“一个持续的与当前位置相反的朝向水平和垂直中心的向心力”牵引下的运动。(未完待续)