用计数原理求二项式展开式中某项的系数

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昨天发了一篇二项式中赋值法应用的题目，文章后面提到可以用计数原理的方法求二项式展开式中某项的系数，正好有读者问到，今天做一次答疑，这种方法不建议学生使用，了解即可，以三种常见的求展开式中系数的题型为例，分别给出

以上述二项式展开式中的系数为例，怎么理解系数？例如2x²中x²的系数是2，即式子中有两个符号为正的x²相加的形式，例如在(a+b)^4中求ab³的系数，即从四个相乘的(a+b)的项中，取出一个a，再取出三个b相乘，因为不考虑顺序，分步相乘的方法即为

所以共有四个ab³相加，所以系数为4，如果a，b前面的系数不是1，此时还需要对系数进行处理，即取了几个就需要把系数自乘几次，例如求(3a-b)^4中求ab³的系数，方法类似，注意系数的处理：

了解这些了，处理以下三种题型就很简单了。

题型一、(a+b)^n的形式

即从六个相乘的二项式中，取出两个二项式并从中取两个2x²，再从剩余的四个二项式中取四个x^-1即可得到常数项

即从六个相乘的二项式中，取其中的两个二项式并从中取两个x，再从剩余的四个二项式中取四个-√x即可得到常数项

即从五个相乘的二项式中取两个二项式并从中取两个x/2，再从剩余的三个二项式中取三个-2y即可得到x²y³

总结：如果不熟练可按照上面步骤写，先化简一下再根据目标式子的指数来分配所需取的数量，熟练了可直接求。

题型二、(a+b+c)^n的形式

即从十二个二项式中取两个二项式并从中取两个x，再从剩余的十个二项式中取十个1即可得到x²

本题目若得到常数项，有三种方法，第一种从五个二项式中取一个二项式并从中取2x，从剩下的四个二项式中取一个二项式并从中取x^-1，再从剩下的三个二项式中取三个-1,以下两种和第一种类似，注意系数需要乘几次

总结：括弧内有三项时，三项均可能取到，根据目标式子的指数合理安排即可，万不可遗漏情况。

题型三、(a+b)(c+d)^n的形式

此时有两个二项式相乘，出现x³y³有两种情况，第一种是从1个(x+2y)中取一个x，再从五个(x+y)中取两个x和三个y，第二种是从五个(x+y)中取三个x和两个y，再从唯一的(x+2y)取一个y即可

和例6类似，出现x²有两种组合方法，第一种是从四个相乘的二项式(1-x)中取两个二项式并从中取两个-x，再从三个相乘的二项式中取三个1,第二种是从四个相乘的二项式中取一个-x，再从三个相乘的二项式中取两个-√x

总结：这种情况是最复杂的一种，需要从两个不同的二项式中取出符合要求的部分，依旧需要注意不要遗漏了情况。

综上：和直接写出通项公式利用赋值法来求系数相比，这种方法并没有太大优势，反而不仅需要留意系数和系数的符号，还要留意有没有遗漏可能的情况，但题型2和题型3若利用常规方法写通项公式，一般需要写出两个通项公式出来，并对两个参数进行赋值，在这一点，利用计数原理求系数就相对简单一些，这种方法如果熟练，解题很快正确率也高，但如果不熟练，万不可使用该方法。