01 开场白

最近针对微积分的知识点发表了多篇文章，这篇文章我们继续来聊一聊微积分中导数的乘积法则和链式法则。

02 乘积法则

首先，我们来看看 导数的乘积法则 最数学的证明方法。

数学证法

其实挺复杂的，数学的证明是在让人看不下去。那么，我们结合 图形分析 来过一遍整个验证关系。

图1：乘积法则

我们首先构造一个直角坐标系，横坐标是 f(x) 和纵坐标是 g(x)。

在图1中，我采用了 :

我们先来看 h(x) = f(x) * g(x), 长乘以宽 的深灰色长方形面积。那么，当x有一个微增量 △x， h(x + △x) = f(x + △x) * g(x + △x)代表的是 深灰色 + 绿色 + 红色 + 蓝色 长方形面积的和。

图2：绿色的面积

绿色长方形： 长是f(x)，宽是 △g(x)。那么，绿色长方形的面积 = f(x) * △g(x)。

图3：红色的面积

红色长方形： 长是g(x)，宽是 △f(x)。那么，绿色长方形的面积 = g(x) * △f(x)。

蓝色长方形：长是△f(x)，宽是△g(x)。那么，蓝色长方形的面积 = △g(x) * △f(x)。

综上所述：

当x有一个微增量△x后，深灰色长方形面积的增量可以表达如下：

△h(x) = h(x+△x）- h(x) = 蓝色 + 红色 + 绿色

△h(x) = △g(x) * △f(x) + g(x) * △f(x) + f(x) * △g(x)

怎么比数学的论证多了一项 △g(x) * △f(x) 呢？

搞懂这个问题，我们需要知道 高阶无穷小 这个概念。

知道 无穷小 △x后，我们构造 △x * △x后。根据洛必达法则，

洛必达法则，有兴趣的朋友可以看我前篇文章：

0/0，∞/∞的极限到底是什么解？图解洛必达法则！

这说明什么呢？

当两个无穷小的乘积 与 无穷小 对比之后，两个无穷小的乘积可以忽略不计。

△h(x) = △g(x) * △f(x) + g(x) * △f(x) + f(x) * △g(x)中 △g(x) * △f(x) 是两个无穷小的乘积可以忽略不计。

△h(x) = g(x) * △f(x) + f(x) * △g(x)

乘积法则得证 :

h'(x) = g(x) * f'(x) + f(x) * g'(x)

图4：导数乘积法则动图

03 链式法则

链式法则其实挺难用图形讲清楚的。等我讲完，可能还没有讲到点上。我也在思考更加简明的讲法。

首先，我们构造一个3D空间，红色坐标轴代表 t， 绿色坐标轴代表 x，蓝色坐标轴代表 y。

方便起见，我们给定一个关系，t（黑色小球），x = 2sin(t)（蓝色小球），y = cos(2sin(t))（红色小球）。我们先来看一下几个球的运动轨迹。

图5：红蓝小球运动轨迹

当我们需要求 d cos(2sin(t)) / d t 的时候，也就是对应图像如下：

图6：红球相对于t的运动轨迹

如图6所示，在 t ~ cos(2sin(t)) 坐标系中，这个图形很像 cos(t)的图形，但是又不完全是。

怎么形象的去解释呢？

比方说吧，A位高权重（《知否》中的顾廷烨顾侯爷），B是A的贴身之人（顾侯爷身边的石头），C是个小人物。那么，如果你是C，你想要去攀到顾侯爷这根高枝，应该怎么做最好呢？

• C可以直接找A去拉关系吗？当然可以，但是过程会很难。而且C和A毕竟关系太远，即使搭上关系，想必也不牢靠。
• A和B关系亲密，C如果先打通和B的关系，再由B去帮忙打通和A的关系，就相对容易一些。这层关系不会跳跃的太大，而且多了B的参与，也会更加牢固。

历史上也有很多的例子，比方说 吴灭越之战中，吴王夫差大败越王勾践，勾践被包围准备自杀，因为勾践想的是我害死了吴王夫差的父亲，想必和吴王夫差投降是没指望了。这就是C去和A拉关系，很难。

但是，勾践的谋臣文种劝住了勾践，说：“吴国大臣伯喜否 贪财好色，可以派人去贿赂他。”勾践听从了文种的建议，就派他带着美女西施和珍宝贿赂伯喜否 ，伯喜否 答应带西施和文种去见吴王。

勾践佩剑

文种见了吴王，献上西施，说：“越王愿意投降，做您的臣下伺候您，请您能饶恕他。”伯喜否 也在一旁帮文种说话。即使伍子胥反对，吴王夫差认为越国不足为患，就答应了越国的投降。这就是C-B-A的典型例子。

扯这么多，是为啥呢？

f(t) = cos(2sin(t))中 f(t) 和 2sin(t)是关系最紧密的。

图7：f(t) = cos(2sin(t))中 f(t) 和 2sin(t)的关系

蓝球的运动轨迹是 2sin(t), 红球的运动轨迹是 f(t)。在 2sin(t) ~ f(t) 直角坐标系中，

d f(t) / d 2sin(t) = d cos(2sin(t)) / d 2sin(t) = -sin(2sin(t))

我们的目标是 f(t) 和 t 的关系。所以，我们得继续去找 d 2sin(t) 和 d t 的关系。

图8：sin(t)和t的关系

d 2sin(t) / d t = 2cos(t)

图9：f(t) 和 t 的关系

通俗的说，如果f(u), u(t), t 这种关系一层套一层的，我们可以通过：

04 总结

对于链式法则，我觉得还可以有更好的解释方法，如果我想到了，我会写出来和大家分享。

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