Lebesgue积分是什么？Lebesgue积分比Riemann积分好在哪里？

前面已经说完了可测集，一般实变函数论的教材接下来就是给出可测函数的概念了。但当我看到可测函数的定义时，就有一个疑问：为什么要定义可测函数？回到最初的目的，数学家们看到了黎曼函数的缺陷，例如对狄利克雷函数的积分无能为力，希望发展出一套新的积分理论，从而使得更多的函数是可积的。为了发展出一套新的积分理论，就要有一套新的度量理论，于是可测集的概念出现。从理论发展的前后顺序来讲，应该是先有Lebesgue积分的定义，再有可测函数。在微积分中，之所以我们关注函数的连续性，是因为它与黎曼可积关系密切。同样的，可测函数的定义是为Lebesgue积分服务的，所以我先说Lebesgue积分。

Lebesgue积分的定义形式并不是唯一的，几种Lebesgue积分的定义相互等价，为了与后面可测函数的定义相联系，也为了和黎曼积分相互比较对照，我选择其中的一种定义。先定义非负函数的积分。

现在和黎曼积分的定义对照看看。

黎曼积分定义的一个缺陷就在于要求对任意的分割，小区间中任意的取值，极限都相同，这个条件相当苛刻。例如以狄利克雷函数为例子，狄利克雷函数在自变量为有理数时取1，自变量为无理数时取0，那么由于有理数的稠密性，不管分割有多细，小区间里一定既有有理数和无理数。第一种取法是每个小区间都取有理数，它的函数值是1，黎曼和不为0；第二种取法是每个小区间都取无理数，它的函数值是0，黎曼和为0。取不同的值黎曼和不同，所以黎曼不可积。

我们看看Lebesgue积分的定义，黎曼积分是对定义域进行划分，而Lebesgue积分是对值域进行划分，它们的区别这样来理解：一个超市要计算一天收取的现金有多少。一种方法是一张一张的现金面额加起来，比如3张5元，2张10元，1张100元，加起来的方法是5+5+5+10+10+100=135，这就是黎曼积分的方法；另外的方法是根据面额分类，5元有3张，10元有2张，100元有1张，那么，5*3+10*2+100*1=135。由于值域的元素个数不可能大于定义域的元素个数，显然Lebesgue积分的计算效率更高，更为重要的是，Lebesgue积分可以处理处处不连续的函数，例如狄利克雷函数，两个有理数之间总有无理数，两个无理数之间总有有理数，所以狄利克雷函数处处不连续，但是根据Lebesgue积分的定义，它的值域是｛0,1｝，它的积分等于1*m(Q),即有理数的测度，前面说了有理数集是零测集，所以狄利克雷函数的Lebesgue积分为0。

Lebesgue积分存在所需要的条件就少多了，从定义中就可以很明显看到，只要对于值域划分的任意小区间，它的原象是可测集。可测函数的定义正是由此得来。可测函数的定义也有不同的形式，一般书中可测函数使用的如下定义，

如果说要找一个可测函数的定义与前面Lebesgue积分的定义最能直观地联系起来，那就是给出“任意开集的原象都是可测集”这样的定义，有这个定义马上就能得出结论：非负函数在可测集上有Lebesgue积分（可以是无穷）的充要条件是其函数是可测函数。回忆连续函数的定义“任意开集的原象是开集”，所以连续函数之于Riemann积分就是可测函数之于Lebesgue积分啊！f(x)在E上存在积分不代表它可积，根据可积的定义，要求积分是有限的才叫做f(x)在E上可积。后面将详细介绍可测函数与可积函数的内容。