组合数怎么计算？

组合数是指从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素并成一组，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫作 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数1。用符号 C (n,m) 表示。

例如，从 {a,b,c,d} 中任取两个元素，可以得到六种组合：{a,b}、{a,c}、{a,d}、{b,c}、{b,d}、{c,d}。所以 C (4,2) = 6。

那么如何计算 C (n,m) 呢？有以下几种方法：

• 利用公式法

根据排列数和组合数之间的关系，可以得到以下公式1：

C (n,m) = A (n,m) / m! = n! / [(n-m)! * m!]

其中 A (n,m) 表示从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，n! 表示 n 的阶乘（即 n * (n-1) * … * 1），m! 表示 m 的阶乘。

例如，C (4,2) = A (4,2) / 2! = [4 * (4-1)] / [(4-2)! * 2!] = 12 / [2 * 2] = 6

这种方法比较简单直接，但是当 n 和 m 很大时，阶乘运算会很复杂。

• 利用递推法

根据杨辉三角形（帕斯卡三角形）的性质4，可以得到以下递推公式：

C (n,m) = C (n-1,m-1) + C (n-1,m)

其中 C(n,0)=C(n,n)=1

例如，

C(0,0)=1 C(1,0)=C(1,1)=1 C(2,0)=C(2,2)=1 C(2,1)=C(1,0)+C(1,1)=2 … 以此类推

这种方法可以避免阶乘运算，但是需要存储前面计算过的结果。

• 利用编程语言

如果使用编程语言来实现计算组合数，可以利用以上两种方法或者其他优化算法。例如，在 Python 中：

# 方法一：利用 math 模块提供的阶乘函数
import math
def comb_1(n,m):  
  return math.factorial(n)//(math.factorial(m)*math.factorial(n-m))
# 方法二：利用递归函数和缓存装饰器
from functools import lru_cache
@lru_cache(maxsize=None)
def comb_2(n,m):    
    if m == 0 or m == n:        
    return 1
    else:       
     return comb_2(n-1,m-1)+comb_2(n-1,m)