什么是向量？

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来源：公众号数学经纬网

作者：林木

物理学家、航空管制员以及社会学家都有一个共同的东西：向量。它们到底是什么？又为什么这么重要？为了回答这个问题，首先我们需要理解标量。标量是一个有大小的量。它告诉我们一个东西的多少，你和长椅之间的距离、杯子里饮料的体积和温度都由标量来描述。

向量也有大小，此外还有一个另外的信息：方向。要从家走到商场，你得知道它离你多远，还要知道要走的方向，这不是距离，而是位移。那么我们如何来表示向量呢？回顾我们日常生活中的描述，例如：向东走200米再向北走300米；或者面向东方，向前走200米再向左走300米。

可以看出来，这两种描述都需要首先指定两个方向作为基准，然后再给出这两个方向上的距离。那么把这两个距离写在一块儿凑成一个数对，就可以表示这个向量。在平面上，我们指定了两个基准方向，而在空间中我们还需要增加一个向上或者向下的基准方向，用三元数组表示。虽然这个表示的方法和点的坐标很像，但要表示的意思是不同的。坐标表示的是一个固定的点，如果原点变了，坐标的数值就会变；而向量只是代表一个有方向的距离，没有确定的起点和终点，坐标原点的变化对于向量的表示没有影响。

对于自然科学中天生带方向和大小的量自然可以用向量来表示，那社会科学有为什么会需要向量呢？其实这是借用了基准方向的概念。比如评判城市之间的差异，需要从人口、经济、教育和科技等许多方面来考虑。这些方面都可以作为评判的指标，而且这些标准又各不相关。那么我们就可以把这些指标都当作基准，再赋予具体的数值，就可以用来描述一个城市的情况。我们同样把这个量叫做向量，只是它的基准方向比较多。

有没有比矢量表达更多信息的量呢？当然，这就是张量。向量是有一个方向的量，张量就是有两个甚至更多“方向”的量。比如说我们在拧像床单这样比较长的衣物的时候，既要有一个拧的力用来拧干又要有一个拉力来保证衣物不会扭在一起。

在拧衣服这个动作中这两个力应该是当作一个整体来看，而且为了维持拧的状态这样的力在衣物的各个地方都是存在的，我们把它叫做应力。但是应力的两个部分又是相互独立的，我既可以撤掉拉力只保持拧的力又可以撤掉拧的力而只保持拉力，所以可以说应力是有两个“方向”的力。对于物体中一个点的应力，我们通过过该点的三个互相垂直的面来表示：每个面上既有可能受到垂直面的正应力，比如压力和拉力；又有可能受到平行于面的切应力，比如剪刀的剪力。

具体而言就是下面的矩阵，其中每一行对应一个平面，σx、σy和σz是正应力，其余τxy等是切应力。