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近期正在构思关于新能源汽车与传统燃油汽车的环保分析、风阻的文章，中间跳转到量纲分析与贝克汉姆π定理（Buckingham π theorem），发现这个话题也很有趣，于是利用五一闲暇，临时插写一篇关于这方面的文章，以飨广大网友。

什么是量纲？

量纲（Dimension）是指物理量的基本属性。物理学的研究可定量地描述各种物理现象，描述中所采用的各类物理量之间有着密切的关系，即它们之间具有确定的函数关系。

物理量可分为基本量和导出量。基本量是具有独立量纲的物理量，导出量是指其

量纲可以表示为基本量量纲组合的物理量；一切导出量均可从基本量中导出，由此建立了整个物理量之间函数关系。

1971年后，国际上普遍采用了国际单位制（简称SI），选定了由7个基本量构成的量制，7个基本量的量纲分别用长度、质量、时间、电流强度、温度、物质的量和光强度表示()。

导出量纲与七个基本量纲一定满足对数线性组合关系，可用这7个基本量导出。任一个导出量的量纲可以表示为量纲的通式子：

式中的指数，，…称为量纲指数，全部指数均为零的物理量，称为无量纲量，如精细结构常数即为一无量纲量。常见的物理量的量纲有

速度的量纲，单位是；

加速度的量纲，对应的单位为；

力的量纲，对应的单位为，用N表示；

万有引力常数的量纲，对应的单位为。

量纲和谐原理

任何物理意义上的方程或关系式，每一项的量纲必定相同。如方程

中的每一项的量纲必定相同，也即

量纲和谐原理表明，只有相同类型的物理量才能相加减，也就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小。

量纲和谐原理也叫量纲齐次规律，也就是量纲是对齐的。

量纲分析方法

量纲和谐原理可以用来检验新建方程或经验公式的准确性与完整性，也可以用来确定公式中物理量的未知参数，还可以用来简历有关方程式。

下面举几个典型量纲分析法的例子，这几个例子在很多材料中有介绍，这里泗水亭长只是通过归纳整理，试图使之更加浅显易懂。

• 用量纲分析法求单摆周期

单摆的周期与物理量（质量）、（长度）、（重力场重力加速度）有关，即

。

根据量纲和谐原理得

也即

，也即

得到

也即

解方程组，得到

所以

也即

这个结论已经非常接近单摆的周期公式：了。

用量纲分析法证明勾股定理

在，为直角，三条边的边长分别为、、。证明：。

根据我们的经验，一旦斜边边长和确定，则三角形面积也就确定了。所以，三角形的面积可以表示为：

由于是无量纲量（弧度），故直角三角形的面积公式可以表示为

其中是某个关于角的函数，也是无量纲量。

根据量纲和谐原理得到：

也即

由于，，故得到

进而得到

。

所以，的面积可以表示为

。

做辅助线AD垂直于BC并交BC于D：

则得到两个直角三角形：和。

利用上述推导出来的直角三角形面积公式，这两个三角形的面积分别为：

和

（∵）

由于

，故

，从而推得：

。

用量纲分析法证明勾股定理

物体绕地球旋转的运动周期与地球质量m、轨道半径、G有

关，即

根据量纲和谐原理可得

也即

对比两边指数，得到

解该三元一次方程组，得到

从而，得到

这个公式与实际公式只有一步之遥了。

总结

从上面三个案例可以看出，我们通过量纲和谐原理，直接可以轻松证明勾股定理，而且可以直接推导出单摆的周期公式和物体绕地球旋转的周期公式，而这两个公式与最终的公式只相差一个系数，而系数是可以通过实验测试出来的。

这真的有些入乎其中出乎其料！

从中我们不难领略到量纲和谐原理/量纲分析：简单直观，但功能强大。