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序曲

莲藕花叶图

【元代】吴师道

玉雪窍玲珑，纷披绿映红。

生生无限意，只在苦心中。

【赏析】

这是一首题画诗，是诗人在一幅莲藕花叶图上题写的五言绝句。诗中借着对莲藕花叶的吟咏，写出了作者对生活的体验，富有哲理意味。诗的大意说：白润如玉如雪的莲藕，中间有精巧透明的窍孔，玲珑可爱。它的绿叶和红花铺散在水面上，互相映衬。莲藕的生命一代代延续不断，显示出无限意趣和欣欣向荣的生机，它之所以能够如此，全部奥秘都在莲籽的“苦心”当中。这里表面说莲心苦，但可以从中体会出更广阔的含义，让人联想到：人只有刻苦努力，才能有所创造，才能有成就。

ROC曲线

前面我们讲到相应的二元逻辑回归，现在我们来探讨下 ROC曲线。

ROC曲线起源于第二次世界大战时期雷达兵对雷达的信号判断。当时每一个雷达兵的任务就是去解析雷达的信号，但是当时的雷达技术还没有那么先进，存在很多噪声（比如一只大鸟飞过），所以每当有信号出现在雷达屏幕上，雷达兵就需要对其进行破译。有的雷达兵比较谨慎，凡是有信号过来，他都会倾向于解析成是敌军轰炸机，有的雷达兵又比较神经大条，会倾向于解析成是飞鸟。这个时候，雷达兵的上司就很头大了，他急需一套评估指标来帮助他汇总每一个雷达兵的预测信息，以及来评估这台雷达的可靠性。于是，最早的ROC曲线分析方法就诞生了，用来作为评估雷达可靠性的指标。在那之后，ROC曲线就被广泛运用于医学以及机器学习领域。

ROC的全称是Receiver Operating Characteristic Curve，中文名字叫“受试者工作特征曲线”，顾名思义，其主要的分析方法就是画这条特征曲线。

关于两类分类问题，原始类为positive、negative，分类后的类别为p’、n’。排列组合后得到4种结果，如下图所示：

如此可得到四个指标，分别为：真阳、伪阳、伪阴、真阴。ROC空间将伪阳性率（FPR）定义为 X 轴，真阳性率（TPR）定义为 Y 轴。这两个值由上面四个值计算得到，公式如下：

• TPR：在所有实际为阳性的样本中，被正确地判断为阳性之比率。TPR=TP/(TP+FN)
• FPR：在所有实际为阴性的样本中，被错误地判断为阳性之比率。FPR=FP/(FP+TN)

若具体领域来理解上述两个指标。如在医学诊断中，判断有病的样本。那么尽量把有病的揪出来是主要任务，也就是第一个指标TPR，要越高越好。而把没病的样本误诊为有病的，也就是第二个指标FPR，要越低越好。不难发现，这两个指标之间是相互制约的。如果某个医生对于有病的症状比较敏感，稍微的小症状都判断为有病，那么他的第一个指标应该会很高，但是第二个指标也就相应地变高。最极端的情况下，他把所有的样本都看做有病，那么第一个指标达到1，第二个指标也为1。

以FPR为横轴，TPR为纵轴，得到如下ROC空间：

由上图可看出：

• 左上角的点（TPR=1，FPR=0），为完美分类，也就是这个医生医术高明，诊断全对；
• 点A（TPR>FPR），医生A的判断大体是正确的。
• 中线上的点B（TPR=FPR），也就是医生B全都是蒙的，蒙对一半，蒙错一半；
• 下半平面的点C（TPR<FPR），这个医生说你有病，那么你很可能没有病，医生C的话我们要反着听，为真庸医。

上图中一个阈值，得到一个点。现在需要一个独立于阈值的评价指标来衡量这个医生的医术如何，也就是遍历所有的阈值，得到ROC曲线。还是一开始的那幅图，假设如下就是某个医生的诊断统计图，直线代表阈值。遍历所有的阈值，能够在ROC平面上得到如下的ROC曲线。

曲线距离左上角越近，证明分类器效果越好。

在同一个项目中，我们有时有多个方法进行分析，可呈现多个ROC曲线，如何判断不同ROC曲线的好差呢？

如上，是三条ROC曲线，在0.23处取一条直线。那么，在同样的FPR=0.23的情况下，红色分类器得到更高的TPR。也就表明，ROC越往上，分类器效果越好。也可引出下一个指标：AUC来衡量同一分类问题的ROC好差。

AUC

AUC值为ROC曲线所覆盖的区域面积，显然，AUC越大，分类器分类效果越好。

• AUC = 1，是完美分类器，采用这个预测模型时，不管设定什么阈值都能得出完美预测。绝大多数预测的场合，不存在完美分类器。
• 0.5 < AUC < 1，优于随机猜测。这个分类器（模型）妥善设定阈值的话，能有预测价值。
• AUC = 0.5，跟随机猜测一样（例：丢铜板），模型没有预测价值。
• AUC < 0.5，比随机猜测还差；但只要总是反预测而行，就优于随机猜测。

AUC值的物理意义：假设分类器的输出是样本属于正类的socre（置信度），则AUC的物理意义为，任取一对（正、负）样本，正样本的score大于负样本的score的概率。

AUC值的计算：

（1）第一种方法：AUC为ROC曲线下的面积，那我们直接计算面积可得。面积为一个个小的梯形面积之和，计算的精度与阈值的精度有关。

（2）第二种方法：根据AUC的物理意义，我们计算正样本score大于负样本的score的概率。取N*M（N为正样本数，M为负样本数）个二元组，比较score，最后得到AUC。时间复杂度为O(N*M)。

（3）第三种方法：与第二种方法相似，直接计算正样本score大于负样本的score的概率。我们首先把所有样本按照score排序，依次用rank表示他们，如最大score的样本，rank=n(n=N+M)，其次为n-1。那么对于正样本中rank最大的样本（rank_max），有M-1个其他正样本比他score小，那么就有(rank_max-1)-(M-1)个负样本比他score小。其次为(rank_second-1)-(M-2)。最后得到正样本大于负样本的概率为：

SPSS中实现ROC曲线与AUC

示例：医生研究了出生低体重婴儿的影响因素，因变量为是否出生低体重儿（变量名为Low，1-是，0-否），希望筛选出出生低体重儿的影响因素，考虑因素：产妇妊娠前体重、产妇年龄、产妇在妊娠期间是否吸烟、种族等。

1.以上节的示例进行分析：应用两种不同的方法建立逻辑回归方程，并保持概率值与分类值

方法1：应用 步进（LR）法 建立模型，得到 预测概率（PRE_1）和分类（PGR_1）

方法2：应用 全回归法 建立模型，得到 预测概率（PRE_2）和分类（PGR_2）

2.打开 分析— ROC曲线

2. 参数选择与说明

（1）主页面

• 检验变量：检验变量的组成要素常为由判别分析或 logistic 回归所得的概率，或是某个指示评分者“确信度”（主体落入一个类别或另一个类别的范围内）的随意刻度上的得分。在本例中选择 逻辑回归 所得到的概率：PRE_1/PRE_2。
• 状态变量：状态变量可以是任何类型，并指示主体真正所属的类别。
• 状态变量值：指示哪一个类别应视为正的。
• 显示：说明要输出的具体内容，包括ROC曲线、坐标点等。

（2）选项 页面

• 分类：指定进行 正分类 时，是包含还是排除分界值。默认包括肯定分类的分界值。
• 检验方向：指定相对于正类别 的刻度方向。

3. 结果输出与解释

（1） 基本描述

• 下图给出正负样本的个数

（2）ROC曲线

• 在同样FPR下，在FPR<0.5时，步进法好于全回归方法；但在>0.5时，全回归法好于步进法。

（3）AUC面积

• ROC曲线描述了在一定累计好客户比例下的累计坏客户的比例。AUC系数表示ROC曲线下方的面积。AUC系数越高，模型的区分能力越强。AUC在[0.6-0.7]之间，模型区分能力较弱；AUC>0.7，模型区分能力非常显著。
• 可看出，全回归的AUC面积好于步进法。

4. 语法

******************** ROC曲线与AUC面积 ******************.
ROC PRE_1 PRE_2 BY low (1)
/PLOT=CURVE(REFERENCE)
/PRINT=SE COORDINATES
/CRITERIA=CUTOFF(INCLUDE) TESTPOS(LARGE) DISTRIBUTION(FREE) CI(95)
/MISSING=EXCLUDE.

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