定期寿险 – 寿险精算(5)

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寿险精算现值是保险赔付在投保时的期望现值，但被保险人的投保时间以及保险事故的发生时间是随机的，一般都不是整数年。因此，死亡即付方式寿险精算现值不能直接由生命表和利率估计出来，而需要借助于死亡年年末赔付寿险精算现值的计算结果。

本文介绍离散型（死亡年年末赔付）定期寿险趸缴纯保费的计算。

1、n年定期寿险

【例5.1】设有1000个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。

I、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出；

II、根据93男女混合表，计算赔付支出。

解：I、死亡赔付现值计算表

根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：

则每张保单未来赔付的精算现值为13.47元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。

II、 死亡赔付现值计算表

根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：

提示：根据93男女混合生命构造表（CL93U），

• q40 = (l40-l41) / l40 = (967144-965548)/967144 ≈ 0.00165
• 1|q40 = (l41-l42) / l40 = (965548-963799)/967144 ≈ 0.001809
• 2|q40 = (l42-l43) / l40 = (963799-961878)/967144 ≈ 0.001986
• 3|q40 = (l43-l44) / l40 = (961878-959768)/967144 ≈ 0.002181
• 4|q40 = (l44-l45) / l40 = (959768-957456)/967144 ≈ 0.002391

则每张保单未来赔付的精算现值为9.12元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。

当某人x岁开始投保1单位元死亡年年末赔付的n年定期寿险，各年年末死亡赔付期望现值为：

加总各年的死亡赔付期望现值，就得到定期寿险在投保时的精算现值，也就是保单的趸缴纯保费。一般地，以(x)表示x岁开始投保的人，对(x)的1单位元死亡年年末赔付的n年定期寿险，其精算现值用表示为，

更一般地，定期寿险的厘定描述为：

• 定义：n年定期寿险死亡年末赔付是指保险人只对被保险人在投保后的n年发生的保险责任范围内的死亡给付保险金，且保险金是在死亡年年末支付的险种；
• 趸缴净保费的厘定：(x)投保后存活k整数年，则k为余寿随机变量，这意味着被保险人将在第k~k+1年死亡，死亡赔付在第k年年末，即第k+1年年初支付。假设条件为：

I、x岁的人的1单位元年末赔付的n年定期寿险，赔付额bk+1为：bk+1 = 1，k = 0, 1, 2, …, n-1。

II、赔付现值随机变量为：

III、赔付现值期望值（趸缴净保费）为：

这里，K的概率分布函数为：

• 赔付现值期望的方差

【例5.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：

• I、单位趸缴纯保费；
• II、单位赔付现值期望的方差；
• III、（总）趸缴纯保费；
• IV、假设有100人投保了该险种，为保证有95%的把握满足真实赔付，所收保费应等于纯保费加上风险附加费用R，求R的值；
• V、假设有100人投保了该险种，为保证有95%的把握满足真实赔付，平均每份保单所收保费应等于纯保费加上风险附加费用r，求r的值。

解：

I、单位趸缴纯保费为，

II、单位赔付现值期望的方差为，

III、趸缴纯保费为，

IV、记为每份保单的赔付现值，总赔付为，

则，

根据题意，

此时，

解得，

纯保费+风险附加费用 =100×[E(z)+R] = 100×(0.004928+0.013064) = 1.7992（元）

V、平均每份保单赔付为,

根据题意，

此时，

解得，

每份保单纯保费+风险附加费用= E(z)+R =0.004928+0.013064 =0.0017992（元）

【例5.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。假设，

计算趸缴纯保费。

解：趸缴纯保费为，

其中，

故，

参考文章：

• 生命表基础 – 寿险精算(2)
• 保险业经验生命表 – 寿险精算(3)