背包问题是最基础的动态规划问题，本文给出背包的模板代码。

约定

• 背包容量(Capacity): C
• 物品数目( Number of items): N
• 第 i 件物品的占用背包的空间容量(Capacity of item i, 也可以理解为Cost): c_i, 其中1≤i≤N
• 第i件物品的价值(Value of item i): v_i, 其中1≤i≤N
• F(i,j): 前i个物品, 容量为j的背包下能装的物品的最大价值, 是一个 (N+1)×(C+1) 的矩阵

01背包

第i个物品: 要么放0件，要么放1件

伪代码如下:

01背包

可视化如下:

01背包：可视化

上述步骤充分理解后，为节省存储空间，可用一维向量来存储，伪代码如下：

注意:

• 内层for循环的迭代顺序从大到小
• 矩阵第一行初始化有两种选择：
• 如果不要求装满背包，不装物品对应的价值全部为０，故第一行全部初始化为0;
• 如果要求恰好装满背包，除首元素外，对于j=1,2,…,C容量，不装物品不满足要求，全部初始化为一个负无穷大。

完全背包

对于完全背包问题，第i个物品: 可以放任意件，只要不超出背包容量。与01背包不同的，只在于内层for循环的迭代顺序，见下图红色部分：

二维可视化如下，仔细体会：

分组背包

物品有K组，每组内：物品互相冲突，最多选一件。

伪代码如下：

和01背包类似，只是多了一层循环，分别尝试一组内的物品。

依赖背包

• 考虑一个主件和它的附件(假设有n个)集合，可用策略: 2^n+1:
• 1: 不选主件
• 2^n: 选取主件后的策略数
• 所有策略都是互斥的，将该主件和它的附件集合对应的所有策略转换为 分组背包 中的一个物品组，每个物品(策略)有一个cost和value
• 所有费用相同的策略，只取价值最大的策略
• 对主件k的附件集合进行 01-恰好-背包, 得到费用为 0,1,⋯,C−c_k时，对应的最大价值 F
• 转换为一个物品组:
• 应用分组背包算法

注: 公式不太好输入，需要latex pdf版本的，可以私信我。