交叉熵损失(Cross-entropy)和平方损失(MSE)究竟有何区别?

交叉熵损失(Cross-entropy)和平方损失(MSE)究竟有何区别?作者丨苏学算法来源丨苏学算法一、概念区别1. 均方差损失函数(MSE) 简单来说,均方误差(MSE)的含义是求一个batch中n个样本的n个输出

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作者丨苏学算法

来源丨苏学算法

一、概念区别

1. 均方差损失函数(MSE) 简单来说,均方误差(MSE)的含义是求一个batch中n个样本的n个输出与期望输出的差的平方的平均值、

2. Cross-entropy(交叉熵损失函数) 交叉熵是用来评估当前训练得到的概率分布与真实分布的差异情况。 它刻画的是实际输出(概率)与期望输出(概率)的距离,也就是交叉熵的值越小,两个概率分布就越接近。

二、为什么不用MSE(两者区别详解)

原因 1:交叉熵loss权重更新更快

1. MSE

比如对于一个神经元(单输入单输出,sigmoid函数),定义其代价函数为:

其中是损失,是我们期望的输出(真实值 target),为神经元的实际输出(输出值),在训练神经网络过程中,我们通过梯度下降算法来更新,因此需要计算损失函数对的导数:

(其中都是已知量,因为网络输入都是以)形式输入的,所以上式直接的 “≈” 把略去了)而后更新

交叉熵损失(Cross-entropy)和平方损失(MSE)究竟有何区别?

因为sigmoid函数的性质,如图的两端,几近于平坦,导致取大部分值时会很小,这样会使得更新非常慢(因为)。

再定量解释如下: 在上式

a) 当真实值若 输出值,则

若 输出值,则

b) 当真实值, 若 输出值,则

若 输出值,则也就是平方损失(MSE)的梯度更新很慢,如下图所示

交叉熵损失(Cross-entropy)和平方损失(MSE)究竟有何区别?

这就带来实际操作的问题。当梯度很小的时候,应该减小步长(否则容易在最优解附近产生来回震荡),但是如果采用 MSE ,当梯度很小的时候,无法知道是离目标很远还是已经在目标附近了。(离目标很近和离目标很远,其梯度都很小)

2. Cross-entropy

为了克服上述 MSE 不足,引入了categorical_crossentropy(交叉熵损失函数)

1)二分类 Binary Cross-entropy

激活函数为 sigmoid

损失函数:

或者简写成:

其中表示样本数量。

同样求导可得:

证明如下:

其中,

因此,的梯度公式中原来的被消掉了,所以导数中没有这一项,权重的更新是受这一项影响(表示真实值和输出值之间的误差),即受误差的影响,所以当误差大的时候,权重更新就快,当误差小的时候,权重的更新就慢。

2)多分类 Categorican Cross-entropy

激活函数为 softmax

可以看作是Sigmoid的一般情况,用于多分类问题。

损失函数:

后续分析类似。

3. 补充 Cross-entropy 的缺点

sigmoid(softmax)+cross-entropy loss 擅长于学习类间的信息,因为它采用了类间竞争机制,它只关心对于正确标签预测概率的准确性,忽略了其他非正确标签的差异,导致学习到的特征比较散。基于这个问题的优化有很多,比如对softmax进行改进,如L-Softmax、SM-Softmax、AM-Softmax等。这些在本篇不展开讨论。

原因 2:MSE是非凸优化问题而 Cross-entropy 是凸优化问题

1.MSE

我们从最简单的线性回归开始讨论: 线性回归(回归问题)使用的是平方损失:

因为这个函数是凸函数,直接求导等于零,即可求出解析解,很简单。但是对于逻辑回归则不行(分类问题【注意:逻辑回归不是回归!是分类!!】。因为如果逻辑回归也用平方损失作为损失函数,则:

其中表示样本数量。 上式是非凸的,不能直接求解析解,而且不宜优化,易陷入局部最优解,即使使用梯度下降也很难得到全局最优解。如下图所示:

交叉熵损失(Cross-entropy)和平方损失(MSE)究竟有何区别?

2.Cross-entropy

而,Cross-entropy 计算 loss,则依旧是一个凸优化问题

以下进行详细说明和推导:

逻辑回归模型进行学习时,给定训练集:,其中,可以应用 极大似然估计 估计模型参数,从而得到逻辑回归模型。

设:

似然函数:

对数似然函数为:

接下来求的极大值,从而得到的估计值。

这样一来,问题就变成了以对数似然函数为目标函数的最优化问题,逻辑回归 中通常的方法就是梯度下降法拟牛顿法

极大似然函数是求极大,取个相反数,再对所有个样本取平均,即得到逻辑回归的损失函数

并且这个损失函数是凸函数,没有局部最优解,便于优化。

以下是直观理解:

其中:

交叉熵损失(Cross-entropy)和平方损失(MSE)究竟有何区别?

当类别标签为时,越靠近 1 则损失越小;当类别标签为时,越靠近 1 则损失越大.

三、总结

  1. 分类问题,都用 one-hot + Cross-entropy
  2. training 过程中,分类问题用 Cross-entropy,回归问题用 mean squared error
  3. training 之后,validation / testing 时,使用 classification error,更直观,而且是我们最关注的指标。(分类错误数量 / 总数) 即:classification error

参考链接

  1. 《李宏毅机器学习》课程中 逻辑回归 一节,: 李宏毅机器笔记 Logistic Regression(解释 LR 为什么不能用 square error ).
  2. 解析损失函数之categorical_crossentropy loss与 Hinge loss.
  3. 神经网络的分类模型 LOSS 函数为什么要用 CROSS ENTROPY.
  4. 交叉熵损失函数.

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