两条弦(含直径)相互垂直的圆相关几何题（一）

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在圆中两条弦（或弦与直径）相互垂直，如果将其端点连接，则可形成对角线相互垂直的圆内接四边形，故将这类题目归入“对角线相互垂直的四边形”合集。

题目1：如图1，在圆O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，点E为弧BD上一动点，连接CE、BE、DE，并延长DE至F。求证：BE平分∠CEF。

解题思路（1）：设AB、CD相交于点P，连接CA、CB（图2），则∠ACB=90°。

在Rt△ACB和Rt△CPB中，易证∠CAB=∠PCB=α；

根据同弦对等角，∠CAB=∠CEB=α。

在圆内接四边形CDEB中，∠DCB+∠DEB=180°；

而∠DEB+∠FEB=180°，则

∠FEB=∠DCB=∠CAB=∠CEB =α

故∠CEB =∠FEB，BE平分∠CEF成立。

解题思路（2）：见图3。

题目2：如图1，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG，连接CE。求证：（1）△ECF∽△GCE；（2）GE是圆O的切线。

解题思路：连接AD（图2），因直径AB⊥CD，则AB是CD的垂直平分线，∠ACD=∠ADC；

又因EG∥AC，则∠EGC=∠ACD=∠ADC=α;

根据同弦对等角，∠CEA=∠CDA =∠EGC= =α。

△ECF∽△GCE得证。

连接OE（图3），OE=OA，∠OEA=∠OAE=θ；

已知EG=FG，则∠GEF=∠GFE=∠AFH=α。

在Rt△AHF中，∠OAE+∠AFH=θ+α=90°，

∠OEG=∠OEA+∠GEF=θ+α=90°，

则OE⊥EG，故GE是圆O的切线。

题目3：如图1，在圆O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，点E为弧BC上一动点，连接CE、DE，过点B作BF⊥DE于F，试判断DF、EF和CE的数量关系，并说明理由。

解题思路：本题实际上证明的是阿基米德折弦定理：图1中，直径AB⊥CD，点B为弧CBD的中点，过点B作长弦DE的垂线，垂足为F，正好符合阿基米德折弦定理情形。

（1）垂线法：过点B作CE延长线的垂线BG，连接BE、BC、BD（图2），因直径AB⊥CD，四边形ABCD为轴对称图形，BC=BD，∠BDC=∠BCD =∠BED;

因∠GEB=∠BDC,则∠BED=∠GEB，

易证Rt△FBE≌Rt△GBE，EF=EG,BG=BF。

易证Rt△DFB≌Rt△CGB，DF=CG=CE+EG=CE+EF

故DF= CE+EF，即点F为折弦CED的中点。

（2）截长法：见图3。

题目4：如图1，在圆O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于H，H为OA中点，点F是弧AC上一动点，AF交OC的延长线于G，CO的延长线交圆O于E，EF交AB于P。求证OG=OE+OP。

解题思路：已知直径AB⊥CD于H，H为OA中点，连接AC，则AC=OC=OA=OE,△AOC 为等边三角形（图2）。

在△ACG和△EOP中，∠GAC=∠FEC=α，

∠GCA=∠POE=120°，AC=OE，

则△ACG≌△EOP，GC=OP。

OG=OC+GC=OE+OP成立。

题目5：如图1，在圆O中，AB、CD是相互垂直的直径，点E是弧AD上一动点，连接BE、AE、CE。求证：AE+BE=√2 CE。

解题思路：

解法1：连接CA、CB（图2），因AB 、CD是相互垂直的直径，∠ACB为等腰RT△，设CA=CB=m，AB=√2 m。根据托勒密定理有：

AE·CB+BE·CA=CE·AB,即

mAE+mBE=√2 m CE，简化之，

AE+BE=√2 CE得证。

解法2：过点C作CE的垂线交EB延长线于F（图3），

易证Rt△ECF为等腰Rt△，EF=√2EC=√2FC。

易证△AEC≌△BFC，AE=BF。

EF=EB+BF=EB+AE=√2EC，

AE+BE=√2 CE成立。