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这是一道关于罗尔中值定理最基础的应用题目。有些同学刚学罗尔中值定理，可能能够记得它的内容，甚至也能理解，但是就是不知道该怎么用，那么学这道题就对了，它会从正反两个方面，给你演示罗尔中值定理是怎么应用的。我们来看题吧：
试讨论下列函数在指定区间内是否存在一个点ξ，使f’(ξ)=0.
(1)f(x)={xsin(1/x), 0<x<=1/π；0, x=0}; (2)f(x)=|x|, -1<=x<=1.
如果你不知道该怎么做，就先复习一下罗尔中值定理的内容：
若函数f满足如下条件：
1)f在闭区间[a,b]上连续；
2)f在开区间(a,b)内可导；
3)f(a)=f(b)，
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0.
很明显，函数(1)对应定理中的区间是[0,1/π]和(0,1/π)；而函数(2)对应定理中的区间是[-1,1]和(-1,1).
首先我们要看看它们在各自的闭区间上是否连续，在各自的开区间上是否可导，即检验条件1和条件2.
这两个函数其实都是分段函数，每段函数都是初等函数，根据初等函数在定义域内都是连续函数，可知，两个函数在对应的闭区间上都是连续的。
而函数(1)在(0,1/π)上可导，它的导函数是f'(x)=sin(1/x)-cos(1/x) /x，其实解这道题并不需要求导，只要知道它可导就行了。而函数(2)在x=0是不可导的。所以函数(1)符合罗尔中值定理的前两个条件，函数(2)不符合罗尔中值定理的条件2. 不过不符合条件2并不能说明就一定不存在一点ξ，使得f’(ξ)=0，只能说不一定存在。
不过由于函数(2)在(-1,0)U(0,1)上的导数值不是-1, 就是1，因此，这个点的确是不存在的。
接下来检验函数(1)的条件3. 不难检验得到f(0)=f(1/π)=0，因此函数(1)符合罗尔中值定理的所有条件，所以函数(1)就在(0,1/π)上存在一点ξ，使得f’(ξ)=0. 函数(2)就没有必要检验条件3了。
接下来组织解题过程：
解：(1)f(x)在[0,1/π]上连续，在(0,1/π)上可导, 且有f(0)=f(1/π)=0,
由罗尔中值定理知，存在一点ξ∈(0,1/π)，使得f’(ξ)=0.
(2)f(x)在[-1, 1]上连续，但在(-1,1)内x=0上不可导,
∴不一定存在一点ξ∈(-1,1)，使f’(ξ)=0.
又 f'(x)={1, x>0; -1, x<0}，∴不存在一点ξ∈(-1,1)，使f’(ξ)=0.
怎么样？是不是很简单，一看就会啊！
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