老黄对分式积分几个重要公式的推导

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有两类重要的基本分式，它们的积分公式在《老黄学高数》系列学习视频第292讲中，老黄已经证明或推导了。这里老黄要推导的是其中第二类基本分式的递推公式。所谓第二类基本分式，就是分母为二次多项式的幂，分子是一次多项式的分式。它的最终公式可以用来解决正整数幂的问题，而递推公式则为求正实数幂的问题提供某种可能。

要推导第二类基本分式的积分递推公式，就要先推导其一个特殊形式的积分递推公式。这个形式的被积函数是1/(r^2+t^2)^n，(n>0且n≠1). 积分变量是r.

探究1：In=∫dr/(r^2+t^2)^n (n>0且n≠1)的递推公式.

因为第二类基本分式(Bx+M)/(x^2+px+q)^n，可以被分拆成两个部分，其中有一个部分是Br/(r^2+t^2)^n，另一个部分就是N/(r^2+t^2)^n.

即(Bx+M)/(x^2+px+q)^n=Br/(r^2+t^2)^n+N/(r^2+t^2)^n.

其中，r=x+p/2, t=√(4q-p^2 )/2, N=M-p/2B.

这些在《老黄学高数》第292讲中都有介绍。其中前一部分的分式积分易求，后一部分的积分公式，也在视频中已经推导出来了。这里要继续推导的是后一部分的积分推导公式，如下图：

在整数幂的范围内，这个递推公式只能直接求得分母二次幂时的不定积分类型。

例1：求∫dx/(x^2+4)^2 .

有了这部分的递推公式，就可以推导第二类基本分式的积分递推公式了。不过那也不是手到擒来的事情，仍然需要进行比较大幅度的计算。

探究2：In=∫(Bx+M)/(x^2+px+q)^ndx (n>0且n≠1)的递推公式.

如上图，最后还给出了分母二次幂的特殊公式形式。在整数幂的范围内，这个递推公式也只能用来直接求分母二次幂这种类型的不定积分。

例2：求∫(2x+5)/(x^2+3x+3)^2 dx.

除了上面推导的这两个递推公式。还有另外一个形式的分式非常常见。它是探究1的分式分母底数中的和，改成差的形式。

探究3：In=∫dx/(x^2-a^2)^n (n>0且n≠1)的递推公式.

这个递推公式至少有三种推导办法。这里提供一种与探究1相关的，在复数范围内的推导方法，是最简便的方法。只要将-a^2看作(ai)^2，它就转化成探究1的类型，可以直接得到递推公式的结果。

同样，可以用它来直接求分母二次幂的特殊形式不定积分：

例3：求∫dx/(x^2-1)^2 .

有了递推公式，我们就可以推导出它的正整数幂公式的最终形态：

探究4：In=∫dx/(x^2-a^2)^n (n>1)的公式.

比如求下面这个不定积分，运用这个公式，就非常简单了。

例4：求∫dx/(x^2-3)^4 .

老黄还计划在下一篇作品中，给大家分享各个公式互推的其它方式，看看会不会得到公式的不同形态。由于公式实在太复杂，数据又特别繁琐。很难保证中间不出现一点失误，因此请小伙伴们批判着阅读。老黄在这里先行谢过你给老黄找出过程中的错漏了。