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Part1简单的证明
定理的原证明并不繁琐,但把书上的证明抄下来太没意思,所以我的期望是,把定理成立的直观性显现出来就行了. 所以我考虑最简单的情况——当积分区域是矩形.
不妨以
点为原点,
为
轴建系如图,设矩形边长
,很容易写出一组对边的参数方程:
考虑这组对边上的积分之和,注意到
,将上面参数带入下面积分:
为了保证对
的积分存在,我们需要假设
在单连通区域内连续;同理可得另一组对边上的积分和:
故在矩形上有,
这样一来,利用黎曼积分的思想,我们可以利用小矩形逼近更一般的区域 D,通过一些简单的分析技巧,就可以证明格林公式在 D上依然成立.
我们先来研究一下微分形式
考虑一特殊情况,若其为某函数
的全微分
也就是说
此时,我们称微分形式
是恰当的. 那么原积分就表示为
最后一步是因为
是定义在闭合曲线
上的连续周期函数,周期为
. 我们再看格林公式的右边:
事实上,这也是
存在的充要条件. 于是格林公式在这一特殊情况天然成立. 此时的积分不依赖于路径,这是为什么呢?因为一旦在闭路上积分为零,那么我们就可以在任意给定的积分路径上添加新的路径,并且使之成为一个闭路:
所以只要起点与终点确定,积分路径走哪条都可以. 我想到了一个几何解释:让我们回到格林公式的证明:
如图,当
沿着
积分时,所求得的结果是许多绿色切片体积之和的相反数,在切片的任意一个面积微元
内(观察黄色方块)
假如,非常巧合的是,
与
一起张成整个曲面
,那么就有
于是就有
>
在此情况,格林公式的右边总是为
. 而对于一般情况,
与
不在一张曲面上,如下图,
在面积微元处的积分比
在面积微元处的积分多(少)了蓝色虚线部分的柱状体积,所以此时在局部积分非
.
Part2外微分解释
我们称
,
为
形式,也就是标量函数;形如
是
-形式;形如
是
-形式……外微分实际上就是从
-形式到
-形式的线性变换
其中
这个映射和普通微分没有区别。关于外微分、外乘积我就不多做介绍了,只要知道两个性质就可以:
于是对
求外微分
我们令
,则格林公式可写作广义的斯托克斯公式
这个公式实际上统一了牛顿、格林、斯托克斯、高斯四大积分公式!此公式的形式本身就蕴含着丰富的信息:外微分
在区域内部的积分仅仅取决于
在区域边界的取值。可以证明,存在这样的向量空间同构
,
其中
是标量场,
是向量场,于是从上图中我们可以看出梯度、旋度、散度事实上就是在求各阶外微分.
Part3物理意义
紧承上文所述,在区域内部的积分居然取决于区域边界. 这在物理界倒是常有的事. 比如在一保守场(重力场、电场、磁场等)内做功,只和做功的起点与终点有关. 再例如计算流量、磁通量等对象时,需要考虑在一个特定区域内的积分(比如通过一管道内的流量),积分的结果只与区域边界有关.
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