我们熟悉又陌生的“辛普森”悖论，你真的懂吗？

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先讲个故事：

有人发现某著名大学有歧视女性之嫌，他摘录了这所学校的公开数据，数据显示，该校某年共有男性申请人304名，最后录取了其中的209人。同年该校有253名女性申请人，最后录取了其中的143人。经过简单的计算可得,男女申请人的录取比率分别约为69%(209/304×100%~69%)和57%(143/253×100%~57%)。男性与女性的录取率相差过于悬殊，所以，这说明明显歧视女性。

这件事引起了社会上的广泛关注,毕竟,歧视女性可是大罪名,而且,这些数据都是学校官方的公开数据,铁证如山。对此,学校管理层非常重视,立即展开调查。他们把所有院系的录取数据都收集起来,然后进行分析。这所学校有很多系,但归属于两个大的学院——文理学院和商学院。这两个学院分别报上自己的录取数据,如表所示。

文理学院说:你看，我们没问题啊。我们学院女性的录取率是34%,明显高于男性的录取率15%。要投诉，也是男同学投诉吧。

商学院说:我们也没问题啊。我们学院女性录取率是91%,也高于男性录取率80%。我们也没有歧视女性啊。

神奇的事情发生了。两个学院都是女性录取率高于男性录取率，但是数据汇总在一起：

却出现了男性录取率高于女性录取率的情况，这是怎么回事呢?难道是数据出错了?可是，把男女申请人总数加总，再把男女录取人数加总，都完全对得上。天啊,这怎么可能！

这就是统计这个数学分支让人头疼的地方。你知道一定有哪里出错了,但是不知道错在了哪里。最早发现并研究这个问题的,是英国统计学家E. H.辛普森(E.H. Simpson),因此这个现象后来被称为“辛普森悖论”(Simpson’s Paradox)。

那么,问题到底出在哪里?？？出在分组策略上。某些特定的分组策略确实有可能导致“在总评中弱势的一方在分组比较中反而占优势”这种情况的出现。

这个学校(非故意地)把全校学生分成了两组:文理学院和商学院。在两个分组(文理学院、商学院)中,女性都“赢了”男性；但是在总评(全校)中，男性却“赢了”女性。

这是怎么做到的呢?怎么分组才能达到这么神奇的效果呢?

那你就要请教比辛普森早了约2000年、给田忌赛马出主意的那个智者孙膑了。是的,你没看错,我说的就是你小时候学过的“田忌赛马”。如果我说辛普森悖论和田忌赛马的本质是一样的,你信吗?

我们回想一下田忌赛马的故事。

齐威王和将军田忌经常赛马,两人各出三匹马（我们以齐1、齐2、齐3和田1、田2、田3来代指这六匹马）,捉对比赛，三局两胜。

首先,我们来看-下总评。从实力上来说,齐1+齐2+齐3>田1+田2+田3.所以总评是“齐>田”,这相当于这所学校的总体录取率“男生>女生”。

然后,孙膑给田忌出了一个分组策略:”以君之下驷与彼上驷,取君上驷与彼中驷,取君中驷与彼下驷。”

用数学语言来表述,就是把六匹马分成以下三组。

第一组:田1VS齐2(田胜)；

第二组:田2Vs齐3(田胜)；

第三组:田3VS齐1(齐胜)。

最终,田忌三局两胜,赢了齐威王。这充分体现了“在总评中弱势的一方在分组比较中反而占优势”。

原来,关键就在于分组策略。你是不是马上联想到为什么历史上有那么多以弱胜强的战役?是的,这正是因为指挥作战的将领们运用了各种各样的分组策略。一部兵书,可能半部都是统计学,你用好了,强敌也抵抗不住。

那么,分组策略会对我们的日常生活或者创业产生什么影响呢?

我举个例子。有一个App开发商想增加广告预算,用于触达那些购买转化率高的用户群体,以增加营收,但他们不知道广告预算应该更倾向于苹果用户还是安卓用户。于是,他们对苹果和安卓的总用户、转化用户、转化率进行了统计与分析,得到了一些数据,如表所示：

数据显示,苹果用户的转化率为4%，卓用户的转化率为5.5%，看上去，应该把广告预算花在安卓用户上。

这时,一位运营人员提出了不同意见。他提供了一份更详细的手机用户、平板电脑用户的拆分数据,如表所示：

果然，神奇的事情出现了。在这份数据里，苹果手机用户的转化率(2.86%)，高于安卓手机用户(2.5%)；而苹果平板电脑用户的转化率(6.67%)，也 高于安卓平板电脑用户(6.25%)。在手机用户和平板电脑用户这两个分组里,苹果用户反而都完胜安卓用户。

这简直是互联网行业的“辛普森悖论”。

那么,问题来了:你到底要把预算投向苹果用户,还是的化家你梅#安卓用户?其实,最应该投的是苹果平板电脑用户。安卓阵营内手机用户和平板电脑用户数量的悬殊、整体数据里苹果用户和安卓用户数量的悬殊,把苹果平板电脑用户的优秀转化率掩盖了。在进行更细化的分组后,它才得以显露出来。

你看过的那些言之凿凿的统计报告真的那么可信吗?研究研究它们的分组策略吧。