导数（速度）悖论：瞬时速度vs极短时间间隔内位移距离的速度

一物体做变速运动，如何求得瞬时速度v(t)？如果位移距离S与时间t不存在函数关系，自然不存在速度与时间的函数关系v(t)。我们这里考虑的是，位移距离S与时间t存在函数关系s(t)，是否可以求得计算每一个时间点的瞬时速度v(t)? v(t)对应的是某一点位移的变化相对于时间的变化的比率，即变化率，微积分的术语就是导数，用s'(t)表示。

这里的瞬时速度要对应一个时间点，而速度=位移/时间，速度的计算不能对应一个时间点，必须对应一个时间段或时间间隔，这就是计算瞬时速度或导数的悖论所在。

对于变速运动来说，计算速度只能是计算某一个时间段的平均速度。在某一时间点附近取得的时间间隔越短，所求的平均速度越接近某一时间点的实际速度。

按极限和无穷小的思想，可以把趋向于无穷小的时间间隔定义为dt（时间的微分），则有一个位移距离的微分st=s(t+dt)-s(dt)，当dt→0，则(s(t+dt)-s(dt))/dt的极限就是瞬时速度v(t)，也就是时间t的导函数。如下：

如果存在位移函数s(t)=1/3t³，则可以计算t=3，t=4，t=5时的瞬时速度vt：

如果每次需要计算一个t值，都需要进行一次推导，则显得非常繁琐和低效率，下面直接推导：

可以推出s'(t)=v(t)=x²，

则

得出导函数v(t)，由时间点t直接计算瞬时速度，这就是微积分导函数的价值所在。

用无穷小和极限去求微分时，只有在函数微分除以一个自变量的微分dt时，表达式才能最大限度的简化（利用无穷小*一个常量＝无穷小，可以忽略不计）。也就是是计算微分时不是直接去计算ds=s(t+dt)-d(t)，而是先计算ds/dt=(s(t+dt)-s(t))/dt=s'(t)=v(t)，然后再计算ds=f‘(t)*dt。

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