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三角函数正弦函数的定义

百度百科：

定义一：正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。

突然发现，这个定义是有问题的。这个定义非常直观，适合入门，但问题是只能将角的取值范围定义为0°到90°之间，而且不包括0°和90°。这个定义不支持自变量的取值范围：。

另一个高级的定义：在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数，记作v=sinα。

这个定义就没有上述限制了。

三角函数对照表

以前是没有计算器或其他任何电子计算工具，当时人们是计算三角函数值时，常常采用三角函数对照表。

三角函数对照表

但三角函数对照表是近似值，在一些计算精度要求很高的场景，可能并不能满足要求。

三角函数的解析值含义

以正弦函数值求法为例，因为求得正弦函数值，就不难求出其他三角函数的解析值。这里的解析值是指精确解（如），而非近似解（如1.41421356237）。

从下文可以看出，1°到90°的三角函数（如正弦函数值）都有解析解，都可以通过正整数的加减乘除、开根号（二次根号、三次根号等）、负号等构成的表达式表示，是精确值，而非三角函数表中的近似值。

求出1°～90°角的三角函数值，再根据三角函数的诱导公式，就不难求出91°-360°角的三角函数解析值了。

0°-90°的三角函数解析值求法

根据正弦函数的定义，不难得到：

道生无，无即0。“道”（Tao）即前面的关于正弦函数的定义。

我们就从0出发给出所有1°到89°的正弦函数的解析值（注意是精确的解析值，而非小数的近似值）的求法。

∵,所以

∴

根据正弦函数半角公式，得出：

根据正弦函数的三倍角公式得到：，也即，这个是的一元三次方程。解该方程，得到：，进而得到。

15°角的三角函数值的几何求法：

。也可以根据三倍角公式求得：是一元三次方程该方程有。

根据正弦函数的三倍角公式得到：，也即，这个是的一元三次方程。根据一元三次方程的求根公式

解该方程，得到：

（舍弃了另外俩不合理的无效根），这是一个用复数表示的实数，其值为。形式上之所以是一个复数，是因为采用了一元三次方程的通用求根公式（后面情况类似）。

。

也可以根据三倍角公式求得：是一元三次方程的一个根求得。

=

下面求18°角的三角函数值：

1）几何方法：做如下等腰三角形，并做辅助线和，为的角平分线，。

设、。不难得到。故，即，解得；或者因为的角平分线，故根据角平分线定理可得，也即，同样可以解得。进而得到。从而，。

2）代数方法：（两倍角公式），且是方程的一个根。而该方程有三个跟：（舍去）、（舍去）和。

（三倍角公式）是一元三次方程的一个实根。该一元三次方程一定有三个解析解：

验算一下，将

代入，得到

不难排除、两个解，而是合理解，即

也即

其中

如果有强迫症，可以写出的最终表达式：

注：虽然是复数表达式，但代入后，计算出来的值却是一个实数。

道家：无生有！

只要算出了的值，其他任何整数度数的三角函数就迎刃而解了。正所谓“有生万物”！

（一生二）

，带入的值，得到

，这个值与的值存在神秘的关联！！！

，带入和，计算得到：

，带入、、和，计算得到：，这个值与的值有密切的关系。

，带入相关值，得到：

，这个值形式上与和神秘关联。

，带入上述已经求出来的相关值，得到

，带入前面的计算结果，得到：，这个值与形式上与、和神秘关联。

，带入、的值，求得：

类似的当，因为前面已经求出了，故：

；当时，；当时，;当时，；当时，令%，再迭代使用上面公式；当时，。

进而可以计算出任意整数角度的正弦函数值（都可以表达为一个精准解析值）。

同时，通过上述计算，我们实际上已经证明了一个结论：当为整数时，函数值是一个代数数。

结论

1°、2°、3°、4°、5°、6°、7°、8°、9°、10°、

11°、12°、13°、14°、15°、16°、17°、18°、19°、20°、

21°、22°、23°、24°、25°、26°、27°、28°、29°、30°、

31°、32°、33°、34°、35°、36°、37°、38°、39°、40°、

41°、42°、43°、44°、45°的正弦函数值都是有精确解，在此基础上可以计算出他们的余弦函数值，再根据三角函数的诱导公式，计算出46°-90°的正弦函数，进而求出其他任意整数度数的三角函数精确值表达。

求得精确值后，在实际工程应用中，可以根据具体场景需要，计算到任意精度。

当然，人类的计算手段越来越丰富，实际工程中，多半会采用三角函数的泰勒级数展开，如

正弦函数的连分数表示：

这两个公式中的自变量是弧度，而非度数。如果是弧度，级数展开公式变为：