数论家族的4个成员：初等数论、解析数论、代数数论、几何数论

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

自古至今，数学家一直重视对整数性质的研究，但在19世纪之前，研究成果星散、孤立，被记载在各个时期的算术著作中，远没有形成系统的、完整的学科。比如我国古代的很多数学名著中论述了孙子定理、求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解等等问题；古希腊的数学家提出质数、和数、约数、倍数等一系列概念，并对整除性问题进行了系统研究；之后各时代的数学家也对整数性质进行了系列研究，使数论的基本理论逐步得到初步的完善。

在整数性质的研究中，数学家发现质数是构成正整数的基本“材料”，只要对质数性质进行研究，就能深入整数性质的探究。这使得数学家开始持续地关注质数性质的研究。

18世纪末，历代数学家积累了丰富的、零散的整数性质知识，作为一门系统学科的条件已经完全成熟。在此背景之下，德国数学家高斯完成了一部大作《算术研究》，书中对过去研究整数性质所用的符号进行了标准化，对当时的定理进行系统化并推广，对研究的问题和方法进行了分类，而且引入了新的方法。这本开启了现代数论新纪元的划时代著作，却是在1801年由高斯自己发表的，因为1800年寄给法国科学院时，被无情地拒绝了。

数论在数学中的地位不同于其他的数学学科，高斯曾说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。那么，数论中一些悬而未决的难题就是“皇冠上的明珠”。数论还有一个很独特的特点就是高产猜想，同时又难于解答，比如：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想等等“明珠”。

数论的分支

数论成为一门独立的学科后，随着各数学分支的发展，出现了新的可用于研究数论的方法，按照研究方法，可以将数论分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论。

初等数论不借助于其他数学学科，只依靠初等的方法来研究整数性质。

解析数论以数学分析作(数学分析是以函数为研究对象、在极限概念的基础上建立起来的数学学科)为工具来解决数论问题。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也做出过突出贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。

• 欧拉用解析方法证明了“质数有无限多个”，其中利用了无穷级数的若干相关知识；
• 20世纪30年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”，用于解决某些数论难题；
• 中国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的方法也是解析的方法。

代数数论把整数的概念推广到代数整数。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。

几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的，由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有深厚的数学基础功底才能深入。几何数论的基本研究对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的“整点”构成的组就叫做空间格网。而空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。

作为一门高度抽象的数学学科，数论长期处于纯理论的研究状态，对数学理论的发展起到了积极的作用。比如鼎鼎大名的费马大定理，希尔伯特比喻其为会下金蛋的鹅。

大多数人并不清楚数论的实际意义，认为只是数学家的智力游戏。由于近代计算机科学、应用数学的发展，数论得到广泛应用。比如初等数论的大量成果广泛应用在计算方法、代数编码、组合论等方面；此外，许多更深刻的数论成果应用于近似分析、快速变换等方面。而由于计算机的高速发展，精度和运算速度的提高，使得用离散量的计算去逼近连续量成为可能。