原创推导超实用的不定积分公式，三角积分大公式

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#头条创作挑战赛#

老黄前面探究了一个与e的ax次方有关的不定积分公式，这里老黄要继续运用分部积分法探究另一个与三角函数有关的不定积分公式。

求∫x^n*cosaxdx, n∈N*, a≠0.

被积函数由两部分组成，前面是幂函数，指数是正整数，后面是ax的余弦函数。a不等于0. 这个公式的推导要比上一个公式难一点。

解：记In(k)=∫x^n*cos(ax+kπ/2)dx.【这是一个关于k的不定积分函数族。不同的n有不同的不定积分，不同的k也会有不同的不定积分。原不定积分中的ax变化为ax+kπ/2的形式。为啥要有这样的设计，看下去你就会明白了。】

In(0)=∫x^n*cosaxdx=1/a*∫x^ndsinax【当k=0时，就得到原不定积分】

=1/a*x^n*sinax-1/a*∫sinaxdx^n【分部积分公式的运用】

=1/a*x^n*sinax+n/a*∫x^(n-1)*cos(ax+π/2)dx【化成这个形式，才能得到递推公式，现在知道为什么老黄要在前面引入ax+kπ/2了吧】

=1/a*x^n*sinax+n/a*I_(n-1)(1)

【同理有I_(n-1)(1)=1/a*x^(n-1)*sin(ax+π/2)+(n-1)/a*I_(n-2)(2)，代入上式】

= 1/a*x^n*sinax+n/a*(1/a*x^(n-1)*sin(ax+π/2)+(n-1)/a*I_(n-2)(2))

= 1/a*x^n*sinax+n/a^2*x^(n-1)sin(ax+π/2)+(n(n-1))/a^2*I_(n-2)(2)

= …=∑(i=0->n)n!/((n-i)!a^(i+1))*x^(n-i)*sin(ax+iπ/2)+C.

公式超难读清楚，不过没关系，下面老黄有图片给大家展示推导过程的全貌，还有例题、练习给大家演示公式的运用。

我们来看一个运用，同时也检验它的正确性.

例：求∫x^3cos3xdx. 【n=a=3，直接代入公式】

解：原积分=∑(i=0->3)3!/((3-i)!*a^(i+1))*x^(3-i)*sin(ax+iπ/2)+C【其实这就可以做答案了】

=1/3*x^3*sin3x+1/3*x^2*sin(3x+π/2)+2/9*x*sin(3x+π)+2/27*sin(3x+3π/2)+ C

=1/3*x^3sin3x+1/3*x^2*cos3x-2/9*xsin3x-2/27*cos3x+ C.【运用了三角诱导公式，统一了各项的形式】

练习：求∫x^5*cos(x/3)dx.【n=5, a=1/3，直接代入公式】

解：原积分=∑(i=0->5)5!/((5-i)!*a^(i+1))*x^(5-i)*sin(ax+iπ/2)+C

=3x^5*sin(x/3)+45x^4*cos(x/3)-540x^3*sin(x/3)-4860x^2*cos(x/3)+29160xsin(x/3)+87480cos(x/3)+C.

结果老黄都已经检验过，正确无误了。老黄也不知道高数中有没有这个公式，反正老黄并没有见过。给这个公式取个名称吧。老黄就叫它“三角积分大公式”吧。因为下面老黄还要继续鼓捣它。老黄觉得这个公式太实用了。