高中生看了都惶恐的三角形面积问题,谁算过谁知道[通俗易懂]

高中生看了都惶恐的三角形面积问题,谁算过谁知道[通俗易懂]很多人看到三角形面积计算,脑海中瞬间浮现的就是二分之一底乘高的小学数学公式,然而到了高中,随着学生所学公式变多,数学思维能力变强,我们在处理三角

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高中数学解析几何方法(三)三角形面积问题,该系列文章详情见本号主页。


<1> 三角形面积公式

很多人看到三角形面积计算,脑海中瞬间浮现的就是二分之一底乘高的小学数学公式,然而到了高中,随着学生所学公式变多,数学思维能力变强,我们在处理三角形面积计算问题时有了更多的公式和手段。

在此列举几种,比如:

(1)结合三角比的知识,三角形面积可表示为:

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(2)结合坐标运算和行列式知识(下面的式子可以按第三列进行展开,实际在大考中极少考查该公式,偶有见到):

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(3)海伦公式(注:海伦公式基本不考,可以作个拓展了解,另外在高中信息技术这门课里会讲利用海伦公式编程的案例)

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<2>解析几何中的三角形面积问题

在高中数学解析几何中,事关三角形面积计算的问题,在不同的命题背景下常有不同的方式,采用合适的方法非常重要。

同时,该类问题因为涉及参数字母运算而造成计算量贼大,让很多同学做起题来十分痛苦。

但是该吃的苦一定要吃该克服的心理障碍一定要克服,不然考试怎么去夺取高分呢?

(1)焦点三角形

不管是椭圆还是双曲线,此类问题一般列三个式子求解:椭圆或双曲线的定义+三角形余弦定理+三角形面积公式。

具体公式及推导过程如下。

椭圆:

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双曲线:

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(2)二分之一底乘以高

这是个小学三角形计算的基础公式,但解析几何考起来就没有那么简单了,必须上难度啊,所以底一般需要用弦长公式两点间距离公式来算,高的计算则一般要用点到直线距离公式,一番折腾下来,很多同学便直接跪了。

例:

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(3)分割法

割补法是平面几何求图形面积的一种重要方法,在解析几何中,我们经常把大三角形,分割成两个同底异高的小三角形,然后利用坐标运算或者线段长度来计算表示整个三角形的面积。

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在上面这道题的第(2)问中,FT的长度就是两个小三角形的公共底,y1-y2的绝对值就是两者高的和。

<3>解析几何大题的解题原则:

思路优先

在做解析几何三角形问题时,正是因为不同方法的运算量差异很大,所以一定切记在做压轴大题的首要原则,是先思考定思路

思路方向不着调的后果很严重,你也清楚,那就是算断手

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前文列举了一些公式和例题,仅仅为抛砖引玉,说来说去还是要自己多积累做题经验,还有不要光看不做,只有体验了各种方法的区别和实操时不同的痛苦程度,才有可能在最后一战中选择出最适合自己的方法。

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