带你认识第二类基本分式”三个儿子”的不定积分公式

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所谓第二类基本分式，指的是：分母是一个二次多项式的正整数幂，分子是一个一次多项式的最简分式。一般写作：(Bx+M)/(x^2+px+q)^n的形式，其中n是正整数，p^2-4q<0。它有三个儿子。包括：

当B=0,M=1时，得到的是它的“嫡子”1/(x^2+px+q)^n；在此基础上，如果p=0, q=a>0，则得到它的“大儿子”；如果p=0, q=-a<0，则得到它的“小儿子”。

老黄是不是在胡弄玄虚呢？当然不是，因为它们的不定积分公式，都有自己的形式，如果不给它们都取个名字，描述起来多麻烦啊。如果你不喜欢老黄这个命名方法，自己采取一套命名办法就可以了。下面才是老黄要分享的重点，就是它们这一家子的不定积分公式。这些公式在《老黄学高数》系列学习视频第294讲中，有归纳。其中部分推导在第293讲。

记In=∫(Bx+M)/(x^2+px+q)^n dx (n>0且n≠1, p^2-4q<0)。首先是老爸的递推公式：

而当n=2时，又可以得到一个特殊形式的公式：

在运用递推公式时，难免要求I1，因此最后还需要I1的公式如下：

这三个公式，就保证了一切“第二类基本分式”的不定积分，都是可求的。举一个例子：

例1：求∫(2x+5)/(x^2+3x+3)^4 dx.

上面的解题过程中，连续降了三次幂，得到I1，然后运用了I1公式，得到最后的结果。仔细观察就会发现，第一次降幂后，就会得到“第二类基本分式”的“嫡子”。因此嫡子公式在运用降幂递推公式求“第二类基本分式”的不定积分时，是一定会用到的。它自己的同类型不定积分也非常常见。因此最好推出它的公式，如下：

当B=0,M=1时(嫡子)， In=∫1/(x^2+px+q)^n dx.

同时还推出了“嫡子”的I1公式。可以看到，嫡子公式要比老爸的公式简便得多。接下来看看大儿子的积分递推公式。

当B=p=0, M=1, q=a>0时,(大儿子)

还有小儿子的积分递推公式：当B=p=0, M=1, q=-a时,(小儿子)

小儿子的递推公式是直接从大儿子那里得到的。只需用-a代替a，就可以了。但这个方法，并不一定都是行得通的。比如I1公式，就不能这么处理。

接下来继续看老爸的公式最终形态：

然后是嫡子的公式最终形态：

虽然这次的嫡子公式并不十分简便，但比老爸的公式还是要简洁很多。再看大儿子的公式：

注意了，接下来这个公式是错误的。就是直接由大儿子公式得到小儿子公式。你会发现，将a替换成-a之后，会得到一个与复数有关的公式，老黄称之为“小儿子的复公式”。

它这个复公式解决例2试试看。

例2：求∫dx/(x^2-4)^3.

虽然公式有问题，但是这个结果却是正确的。不过如果再解决例3，就会有问题了。

例3：求∫dx/(x^2-4)^2 .

虽然结果是错误的，但仅是得到了正确结果的相反数。而两个不定积分唯一的区别是分母的指数不同。一个是奇指数3，一个是偶指数2. 因此，不妨猜想，这个“复公式”的错误，与分母的指数有关。

其实在《老黄学高数》第293讲中，老黄分享过“小儿子”的另一个公式。是直接由它的递推公式推导出来的。

用这个公式解决例2和例3，就都没有问题：

例2两个公式得到的结果都是正确的。例3则只有后面这个公式得到的结果才是正确的。

那么“小儿子的复公式”有没有正确的形式呢？有，老黄下次再告诉你！