多元函数的极值问题

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极值问题是微积分里重要的部分，很有应用价值。

先说一说一元函数的极值怎么找。

对于一个一元可微函数
欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!,它的极值点所在处x=a，函数值的变化率得是零，即。否则，若x=a的变化率不为零，或增或减，该点就不是极值了。所以，通过解，就可以得到可能成为极值的点。注意这里用的是”可能”二字，有时候，即使变化率为零的点，也不是极值点，比如在零点处的变化率虽是零，但该点并不是极值点（是inflection point）。

导数为零的点可能是极值点，也可能不是

如果一元可微函数在一个闭区间上找极值，除了导数为零的点外（stationary points），还要考虑边界点，因为边界点有可能成为区间上的取到最大值或最小值的点。

多元函数的极值问题比较类似，以二元函数为例，要找到的极值，我们需要找到存在水平切平面的点，即

的解。类似的，这些点处的函数值变化率为零，便有可能是极值点。（也有可能是saddle point）

对于闭区域上的极值问题，与一元函数类似，同样要考虑边界点的函数值，因为最大最小值可能在边界上取到。（即使边界点不是stationary points）

多元函数求极值还有一个叫做拉格朗日乘子的方法很有用，它应用在有约束条件的多元函数极值问题里。以三元函数为例，如果要求得在曲面上的极值，可以让

也就是说，只有满足f和g的梯度共线的点，才可能成为极值点，我们可以通过这个条件快速的找到可能的极值点，而且这个方法对任意n元函数都有效。

举个例子，比如我们要找函数在单位球上及里面的极值，常规的方法是先找到球内部的stationary points，即偏导数都为0的点，因为这些点有可能成为极值。不过，这里,所以球的内部点没有稳定点。

边界点是单位球上的点，满足，如果利用这个方程消元代入到f里，将会比较复杂，等于还要再解一个二元函数的极值问题，但如果用拉格朗日乘子法就简单多了：让，这里我们先求出g的梯度

由我们得到了的两个解，分别是和。只有在这两个点上，函数f可能取得极值。易见，第一个点对应的函数值比较大，它是函数f在这个闭区域上的最大值，为；第二个点是函数的最小值，为。

最后，我们说一说为什么当时，f才可能取到极值？首先，任取曲面g(x,y,z)=0上的一点，该点处g的梯度向量是垂直于g(x,y,z)=0这个平面的，而当时，即f和g的梯度共线，所以f的梯度在该点处也垂直于平面g(x,y,z)=0。因此，函数f在该点沿着任一条g(x,y,z)=0上的曲线r(t)的变化率是（利用链式法则） 也才有可能成为极值点。（如果某条曲线上f在该点处函数值变化率不为零，则f不可能是曲面上的曲线上的极值点，也就不可能是曲面上的极值点。）