让你迷惑的一真一假两参数

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一题 · 一议 · 一素养（高考真题 · 独家揭秘）

【历史背景】参数方程与极坐标是近十年旧高考的选做解答题必考之一，分值中等（10分），难度也中等（平均难度系数0.57），中等水平考生一般都能得到该题满分。这类考题濒临灭绝，即将退出高考的历史舞台。它们都是以直线与圆，圆锥曲线为载体，以参数方程与极坐标为背景，以方程转化、曲线识别、三角变换、几何最值为目标，考查考生的数学思维能力与学科核心素养。

虽然这类题目综合程度极高，内容包罗万象，跨度纵横穿越，而且难度适中，亲切平和，不会抽象得离谱刁钻。但是有时该类考题偶然也会让考生大吃一惊，无所适从，手忙脚乱。下面这道西安交大附中的模拟考题就是很好的例证，详细阅读后，你从中一定会学到你所需要的。

【知识储备】参数方程与含参方程的区别

参数方程是一条已知曲线的一种方程表达形式，经过合理消参，就可以完成方程的灵活转变，化繁为简、化难为易，变陌生为熟知；但是含参方程却是一类曲线（曲线系）的统一方程，不是一条指定的已知曲线。这类曲线一般都有某种固定的几何特征，找到它们的共同几何特征，是解决含参方程问题的灵魂与核心。

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【身临其境】西安交大附中模拟考题

评析：本题是一明一暗、一真一假两参数。外层是一个圆的参数方程，可以顺利经过消参转化为圆的标准方程。内层却是圆系（一堆圆）的含参方程—圆心共椭圆。对于本题考生由于平时解题的惯性思维，误以为内外都是一个圆的参数方程，使劲在两次消参，走入了死胡同，最终导致无法全部消参而兵败麦城。

评析：本求解方法1巧妙地利用了直线与椭圆相切的充要条件（课外小知识），快捷完成了椭圆切线方程的计算，通过形解求得几何最值。

评析：本求解方法2合理利用了椭圆的参数方程，巧妙地利用了三角变换，从数（函数）的角度完成几何最值计算。

评析：本求解方法是考生最容易联系到的椭圆计算切线方法方程的解题方法。通俗易懂，计算稍微繁琐，档次偏低，初中数学级别中圆的切线方程计算痕迹太浓。本题巧妙地计算椭圆上动点（圆心）到固定直线距离的最值。