欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!
利用“先求导再积分”方法求前n项的平方和、立方和、四次方和及高次方和，这个方法更加精准。
已知Sn=1+2+3+……+n=(n²+n)/2，
求(Sn)²=1²+2²+3²+……+n²等于多少？
求(Sn)³=1³+2³+3³+……+n³等于多少？
求(Sn)⁴=1⁴+2⁴+3⁴+……+n⁴等于多少？
解：由已知Sn=1+2+3+……+n=(n²+n)/2
将(Sn)²对未知数n进行求导，得
d((Sn)²)/dn=2*1+2*2+2*3+……+2*n
=2*(1+2+3+……+n)
=2*(n²+n)/2
=n²+n
再对n²+n进行积分，可得
(Sn)²=∫(n²+n)dn=n³/3+n²/2+Cn
令n=1时，1=1/3+1/2+C
解得 C=1/6
将C=1/6代入(Sn)²，因此
(Sn)²=1²+2²+3²+……+n²=n³/3+n²/2+n/6
同理，也将(Sn)³对未知数n进行求导，得
d((Sn)³)/dn=3*1²+3*2²+3*3²+……+3*n²
=3*(1²+2²+3²+……+n²)
=3*(n³/3+n²/2+n/6)
=n³+3n²/2+n/2
再对n³+3n²/2+n/2进行积分，可得：
(Sn)³=∫(n³+3n²/2+n/2)dn
=n⁴/4+n³/2+n²/4+Cn
令n=1时，1=1/4+1/2+1/4+C
解得 C=0
将C=0代入(Sn)³，因此
(Sn)³=1³+2³+3³+……+n³=n⁴/4+n³/2+n²/4
同理，求得：(Sn)⁴=1⁴+2⁴+3⁴+……+n⁴
=n⁵/5+n⁴/2+n³/3-n/30
用这个方法可以求前n项高次方和。
以上是手写版对(Sn)²求解过程
欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!
免责声明：本站所有文章内容,图片，视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成，不代表本站观点，不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益，请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。 本文来自网络,若有侵权，请联系删除，如若转载，请注明出处：https://itzsg.com/138222.html
