三角信号的拉普拉斯变换

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简 介： 本文探讨了三角脉冲信号的拉普拉斯变换及其收敛域问题。通过推导发现，虽然变换表达式在形式上存在二阶极点，但由于信号本身是有限长的，其收敛域应涵盖整个s平面。进一步分析表明，该极点实际上是可去极点：通过将指数函数展开为泰勒级数并求极限，证明其极限值为1/2。因此，三角脉冲信号的拉普拉斯变换本质上没有极点，收敛域为整个s平面。这解决了关于极点与收敛域看似矛盾的学生疑问。
关键词： Laplace变换，收敛域

01 拉普拉斯变换

一、问题来源

  这是一个往届信号与系统课程试卷习题。询问下面这个三角脉冲信号的拉普拉斯变换以及对应的收敛域。这里给出了这个三角信号的拉普拉斯变换。由于它是一个受限长度的信号，所以从定义上很容易判断，这个信号的拉普拉斯变换的收敛域应该是整个 s 平面。可是，从信号的 拉普拉斯变换的表达式上来看，它具有一个二阶极点。那么，为什么它的收敛域却是整个 s 平面呢？ 下面推导一下这个信号的拉普拉斯变换。并且证明它的 二阶极点应该是可去极点。

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二、推导变换

  下面， 首先推导信号的拉普拉斯变换。为了方便推导，我们先从一个已知信号拉普拉斯变换结果开始，那就是这样一个单边斜变信号。它对应的拉普拉斯变换的结果为 s平方分之一。如果将该信号右移单位 1，那么根据拉普拉斯变换的时移特性，对应信号的拉普拉斯变换是在原来变换的基础上，乘以 e 的 -s 次方。如果将这两个信号相减，我们所得到的信号是一个斜变饱和的信号。将这个信号再减去一个延迟单位 1 的单位阶跃信号，便可以得到题目所对应的三角脉冲信号了。延迟的单位阶跃信号 对应的拉普拉斯变换为 s 分支 e 的 -s 次方。这也是应用了拉普拉斯变换的时移特性。下面，将这三个信号合并在一起， 便最终得到了三角脉冲信号的拉普拉斯变换了。

三、可去极点

  由于信号本身是一个有限长的信号，所以它对应的拉普拉斯变换的收敛域应该是整个s平面。下面，求该表达式在 0 点处的极限，来验证 分母上的 s平方对应的是一个二阶可去极点。根据指数函数的台劳级数展开公式，将分子上的指数函数进行台劳级数展开。那么，可以得到分子中三项对应的展开公式，将它们进行合并，于是，便可以得到前面几项展开级数。可以求出对应的极限为 二分之一。所以，该信号拉普拉斯变换中，没有极点。所以对应的收敛域为整个s平面。

※ 总  结 ※

  本文，讨论了一个三角脉冲信号的拉普拉斯变换及其收敛域。这本是一个学生提出的疑问，也就是为什么信号的拉普拉斯变换表达式具有分母上的二阶极点，为何它的拉普拉斯变换的收敛域却是整个s平面。这是因为表达式中的极点是一个可去极点。