立体几何中的多球相切问题

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立体几何较平面几何难的地方就在于如何用平面图形表示三维立体，这对想象力要求很高。而对于球的相切问题，却是可以简化的，举例如下。

这是一道奥赛题：空间有四个球，半径分别为3，3，2，2，其中每个球都与其余三球外切，另有一小球与这四个球都外切，求小球半径。

直接画图很抽象，也很麻烦，如下图。如果取四个球的球心，两两连接，便组成一个四面体，四面体的棱长即为相邻两球球心距。

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如上图，四面体A-BCD中，AB=6，CD=4，AC=BC=AD=BD=5。

取AB中点E，CD中点F，连接EF，设小球球心为O，如下图。观察上图，根据对称性，可知O在EF上。

设小球半径为r，易证CD⊥平面ABF，则OF=√(OC²-CF²)=√((r+2)²-2²)=√(r²+4r)。

同理易得EF⊥AB，所以可得：OE=√(OA²-AE²)=√((r+3)²-3²)=√(r²+6r)。

EF=√(AF²-AE²)=√(AC²-CF²-AE²)=√(5²-2²-3²)=√12。

由OE+OF=EF得到方程：

√(r²+4r)+√(r²+6r)=√12

而(r²+6r)-(r²+4r)=2r，除以上式可得√(r²+6r)-√(r²+4r)=2r/√12 。

与与原方程求和可得：

2√(r²+6r)=(2r+12)/√12 ，两边同除以2√(r+6)可得：√r=√(r+6)/√12，两边平方得：r=(r+6)/12，解得：r=6/11。