椭圆积分

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话题：#数学# #微积分# #椭圆积分#

小石头/编

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椭圆定义为：

• 平面上 到 两个焦点 F, F‘ 的距离之和为 常数 2a 的 点 P 的集合；

根据这个定义可以写出如下方程，

对方程做如下变形，

注意到 在 直角 ΔBOF 中根据勾股定理有，

于是 将 b² = a² – c² 代入方程，最终得到 椭圆方程，

又，若令，

则，

故，(2) 是 椭圆的参数方程，写成向量的形式就是，

考虑 椭圆的周长 L，根据弧长公式，

有，

令，

称 为 椭圆的偏心率，由于 a > c > 0 所以 0< k < 1，于是得到椭圆的周长为，

注意：中学数学课本中 偏心率 用 e 表示，这里是 为了避免 与 自然常数 e 冲突，改记为 k。

接下来，就是求这个积分了。

首先，回忆在微积分中我们学过有一个著名的定积分求解题，

根据 分部积分公式，

有，

于是整理可得，递推公式，

而显然，

于是， 当 n = 2m 为偶数时，有，

当然 n = 2m + 1 为奇数时，有，

注：这个结论 可以用于 证明 沃利斯 公式（也叫 点火公式），详细证明 可以参考 小石头首页文章，或 微积分相关 书籍。

然后，可以利用 广义二项式定理，

对 (3) 中的 被积分根式 进行二项式展开有，

其中，

又，

于是有，

进而结合前面的结论 (4) 有，

将 m = 0 项独立拎出来【注意：(-1)!! = 0!! = 1】，最终得到 椭圆的周长公式为，

是一个关于 k 的幂级数，说明 椭圆的周长 没有 有限的初等函数公式，这进一步说明 不定积分，

积不出来 （即，无法用 初等函数的有限形式 表示），我们称为这样的积分为 椭圆积分。

接下来，我们对 椭圆积分 做 进一步研究。

为此 用，

对 (5) 进行参数替换，根据，反函数导数公式，

有，

于是，

若令，

则 (6) 变形为，

我们发现 被积分函数 是一个分式，而且 分子和分母都是 多项式，我们称为 这种 两个多项式 之比的形式为 有理函数。若 将有理函数一般形式记为，

其中 P(x, y) 和 Q(x, y) 都是 多项式，则 (6) 的一般形式为，

又由 (7) 有，

其一般形式为，

由于 满足 (9) 的 (8) 是 (6) 的更一般情况，于是 此时 若 (8) 积不出来 则也称其为 椭圆积分，若可以积出来，则称为 伪椭圆积分。

注意到，(6) 还可进一步变形为，

若令，

则有，

这说明 求 (6) 的积分问题，被归结为 求 F 和 E 的积分，于是 大家自然有疑问：

• 比 (6) 更一般的 (8)，其 求积分问题 又会被结为 那些 积分呢？

我们将在续篇中研究 这个问题。

（写到这里的时候 已经 有 两千多 字了，由于 文章 中 公式有点多，所以不宜太长，因此 分为 正文 和 续篇 发布。）