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浮点数是什么
浮点数是计算机中一种表示实数的数值类型，由尾数和指数组成。浮点数的表示形式有点类似于科学计数法，比如：6.19 × 10 ^ 3。浮点数 IEEE 754 标准是计算机中一种常用的浮点数标准，该标准定义了单精度和双精度浮点数的表示方法。
|
精度 |
位数 |
符号位(S) |
指数(E) |
尾数(M) |
偏移值 |
|
单精度 |
32 位 |
1 |
8 |
23 |
127 |
|
双精度 |
64 位 |
1 |
11 |
52 |
1023 |
规格化数实际值的公式如下：
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除此之外，还有一种不常用的半精度，它的表示如下：
半精度（16位）：
- 符号位（S）：1位
- 指数（E）：5位（偏移值 15）
- 尾数（M）：10位（隐含小数点前面的 1）
浮点数加减法运算的流程
- 预处理
- 若任一操作数为0，直接返回另一个操作数。
- 对特殊值进行处理（比如NaN、Infinity）。
- 对阶操作（Exponent Alignment）
- 比较两数的指数部分的值，将较小指数的数尾数进行右移操作，直到两数指数部分相等。
- 右移位数：
可能的精度损失：右移导致低位精度丢失，可能引入舍入误差。
例：1.01×2^3 + 1.01×2^1 → 对齐后变为： 1.01 000×2^3 + 0.001 01×2^3欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!
对阶操作为什么是右移：如果大阶对小阶，则尾数的数值部分的高位需移出，而小阶对大阶移出的是尾数的数值部分的低位，这样损失的精度更小
- 符号判断和尾数运算
根据符号位决定尾数加减操作：
- 同号：绝对值相加，符号维持不变。
- 异号：绝对值相减，结果符号为绝对值大的数符号。
- 规格化（Normalization）
- 左规：若结果形如 00.01xx，需左规操作。
- 右规：若运算产生进位（如 10.xx ），需右规操作。
欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!例如：结果为 10.01×2^3 → 右移后变为 1.001×2^4
- 舍入（Rounding）
IEEE 754标准有四种处理多余位的模式：
- 就近舍入（默认）
- 向零舍入
- 正向无穷舍入
- 负向无穷舍入
例如（单精度）： 尾数 1.000000000001（24位） 就近舍入后，保留23位：1.00000000001- 溢出与下溢处理
- 上溢（Overflow）：指数超过最大值 → 将其标记为 ± Infinity。
- 下溢（Underflow）：指数过小（精度不够） → 转为非规格化数或 0 。
运算示例
以下面的运算为例：(+0.5) + (-0.4375)
- 转为 IEEE754 浮点数格式：
欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!0.5 -> 0, 0 000... -0.4375 -> 1 0 110...
- 对阶：
指数差1，右移后者尾数1位 → 1.110 → 0.1110- 尾数运算：
欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!1.000... - 0.1110... = 0.0010...
- 规格化：
左移2位 → 1.000... × 2 ^ -3- 结果：
欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!0 0 000... -> 0.0625
扩展 —— 浮点数特殊数值表示
|
值的类型 |
符号 |
阶码 |
尾数 |
值 |
|
正零 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
负零 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
正无穷 |
0 |
全1 |
0 |
∞ |
|
负无穷 |
1 |
全0 |
0 |
-∞ |
|
无定义数（非数） |
0或1 |
全1 |
≠0 |
NaN |
|
规格化非零正数 |
0 |
0 ~ 2 ^ E-1 |
f |
2^(e-偏移值)(1.f) |
|
规格化非零负数 |
1 |
0 ~ 2 ^ E-1 |
f |
-2^(e-偏移值)(1.f) |
|
非规格化正数 |
0 |
0 |
f≠0 |
2^-(偏移值-1)(0.f) |
|
非规格化负数 |
1 |
0 |
f≠0 |
-2^-(偏移值-1)(0.f) |
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