中考总复习：数学压轴题模型 圆的专题 （阿氏圆模型）

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模型起源：阿波罗尼奥斯圆

阿氏圆（Apollonius Circle）由古希腊数学家提出，定义为：平面内到两定点距离之比为定值（k≠1）的点的轨迹。中考常考其逆向应用——已知轨迹为圆，求k值或构造加权最值。

核心公式：若点P满足PA/PB=k（k≠1），则P点轨迹是以特定圆心和半径构造的圆，圆心坐标与半径可通过代数法或几何法求出。

模型识别：题目的三大特征

1. 条件形式：出现“PA + k·PB”型最值问题（k为正数且k≠1）；
2. 隐藏圆：需逆向构造阿氏圆，将加权线段和转化为定点到圆的最短路径；
3. 常考场景：线段和最值、费马点问题变式、动态几何中的轨迹分析。

关键点：当k>1时，阿氏圆偏向B点；k<1时，偏向A点。

⚙️ 四步解题法

步骤1：确定比例k，构造相似三角形

• 设两定点A、B，比例系数k，在直线AB上找到内分点C和外分点D，使AC/BC=AD/BD=k；
• 阿氏圆以CD为直径，圆心O为CD中点，半径r=½|CD|。

步骤2：代数法求圆心坐标与半径

• 设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，k≠1，则圆心O坐标为：
  O( (k²x₂−x₁)/(k²−1), (k²y₂−y₁)/(k²−1) )；
  
• 半径r= k·AB / |k²−1|。

步骤3：转化为圆外点到圆心的距离问题

• “PA + k·PB”最小值问题等价于求定点到阿氏圆的最短路径，即 |MO| − r（M为加权点）。

步骤4：利用几何对称性求极值

• 当P点位于圆心O与目标点M连线与圆的交点时，取得极值。

典例精讲

题目：点A(0,0)，B(4,0)，k=2，求PA + 2PB的最小值。
解析：

1. 求圆心：代入公式得O( (2²×4−0)/(2²−1), 0 ) = (16/3, 0)；
2. 求半径：r=2×4/|4−1|=8/3；
3. 转化问题：求点A到圆O的最短路径，即AO−r=16/3−8/3=8/3；
4. 结论：最小值为8/3。

⚠️ 易错点与避坑指南

1. 比例k的取值：必须满足k>0且k≠1，否则退化为中垂线或直线；
2. 代数计算：圆心坐标公式易符号出错，需严格按步骤推导；
3. 几何转化：忽略“加权和”到“距离差”的转化逻辑，直接套模板导致错误。

模型拓展：关联题型

1. 胡不归模型：k<1时的线段加权问题，需用三角函数转化；
2. 费马点问题：三点加权和最小，需结合旋转构造等边三角形；
3. 隐圆最值：动态问题中识别阿氏圆轨迹。

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