李群及其运算规则

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一、李群概念

李群是一种兼具 光滑流形 结构和 群 结构的数学对象，且群运算（乘法和求逆）是光滑映射。其核心特点在于：

流形：局部类似于欧几里得空间（如 Rn）。

群：满足封闭性、结合律、存在单位元、每个元素有逆元。

光滑性：群运算（如 G×G→G的乘法，G→G的逆元映射）是无限次可微（光滑）的。

典型例子：

一般线性群 GL(n,R)：所有可逆的 n×n实矩阵。

特殊正交群 SO(n)：所有行列式为 1 的正交矩阵（描述旋转）。

特殊酉群 SU(n)：所有行列式为 1 的酉矩阵（量子力学中常见）。

二、李群的运算规则

1. 群乘法：
   对任意 g,h∈G，群乘法满足结合律 g(hk)=(gh)k，且存在单位元 e∈G 使得 ge=eg=g。
2. 逆元存在性：

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3、光滑性：

4、逆元的性质

显式表达式：

5、与李代数的关系：
李群的逆元可通过指数映射与李代数中的元素关联。

若 X∈g（李代数），则 g=e^X∈G，其逆元

6、生成元与李代数

李群的 生成元 对应其李代数 g的元素，二者通过 指数映射 联系：

生成元的物理意义：
生成元对应群的无穷小变换（如旋转的角速度、平移的方向）。

李代数结构：
生成元满足李括号 [X,Y]=XY−YX（矩阵李群中为交换子），对应李群的局部非交换性。

案例：SO(3) 的生成元

李代数 so(3) 由反对称矩阵组成，基生成元为：

二、李群的元素组成

1. 参数化表示：
   李群作为流形，其元素可通过局部坐标参数化。例如：

2、连通分支：
李群可能是连通的（如 SO(n)），或由多个连通分支组成（如 O(n) 包含行列式为 ±1 的分支）。

3、紧致性：
紧致李群（如 SU(n),SO(n)）在物理中尤为重要，因其表示论具有良好性质（如有限维不可约表示）。

三、李群与李代数的对应

1. 指数映射：

2. 伴随表示：

四、物理中的应用

1. 对称性与守恒律（诺特定理）：
   连续对称性对应的李群生成元给出守恒量（如角动量与旋转群 SO(3)）。
2. 规范场论：
   规范群（如 SU(3)）的李代数生成元对应规范玻色子（如胶子）。

李群 = 光滑流形 + 群结构 + 光滑运算。

逆元：光滑存在，矩阵群中为矩阵逆。

生成元：对应李代数元素，通过指数映射生成群。

核心应用：描述连续对称性，沟通几何（流形）与代数（群）的结构。