名师彻底讲透初等函数(30)函数y=xⁿ(n=½和⅓)

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1.函数y=xⁿ(n=½)

因为当x≥0的时候，幂xⁿ(n=½)（就是√x）都有意义，所以函数y=xⁿ(n=½)的定义域是全体非负实数，就是

0≤x<+∞.

从函数的解析式

可以看出，它具有以下的一些性质：

(1)当x=0时，f(x)=0，所以函数的图象通过原点。

(2)当x取负值的时候，f(x)没有意义，所以函数y=xⁿ(n=½)不具有奇偶性。函数的图象位于y轴的右边，既不对称于y轴，也不对称于原点。

(3)当x取非负的值的时候，√x的值总是非负的数，就是√x≥0；并且当0≤x₁<x₂时，√x₁<√x₂，当x的值愈来愈大的时候，√x的值也愈来愈大。所以函数是有下界但没有上界的增函数。函数的图象从原点起向右上方无限伸展。

根据这些特点，我们选择自变量x的一些值求出对应的函数值。列表作图如下(图5.8)：

如果精确地画出函数y=xⁿ(n=½)的图象，那么也可以利用它来求正数x的近似平方根。例如，从图中可以读出√5≈2.3.

2.函数y=xⁿ(n=⅓)

因为不论x是什么实数，

都有意义，所以函数

的定义域是全体实数，就是

-∞<x<+∞.

从函数的解析式

可以看出，它具有以下的一些性质：

(1)当x=0时，f(x)=0，所以函数的图象通过原点。

(2)因为

所以函数

是奇函数，函数的图象对称于原点。

(3)因为当自变量x取任意两个正值x₁和x₂(x₁<x₂)时，

所以函数

在区间0<x<+∞上是增函数。

(4)因为当自变量取正值而绝对值愈来愈大时，函数的值也愈来愈大，所以函数

在区间0<x<+∞没有上界，函数的图象从原点起向右上方无限伸展。

根据这些特点，我们选择自变量x的一些非负的值，求出对应的函数值(可以用立方根表)，列成表格，作出函数

在y轴右方的图象，再利用图象对称于原点这一特点，就可以作出它在y轴左方的图象(图5.9)。

如果我们精确地作出函数

的图象，那么也可以利用它来求实数的近似立方根。例如从图中可以读出

例 利用图象解方程

【解】由(1)得

作函数

和y=x-2的图象(图5.9)，读出它们的交点的横坐标x≈3.5。这就是所求的近似根。

习题5.5

1．利用函数 y = √x 的图象，求下列方程的近似根（精确到0.1):

(1)2√x-3x+6=0;

(2)10√x +4x-40=0.

2．利用函数

的图象，求下列方程的近似根（精确到0.1):

3．画出下列各函数的图象：

(1) y =2√x ;

(2) y =√(x -1);

(3) y =√x +1.

它们与函数 y =√x 的图象有什么关系？

4．已知函数

,

(1）求函数的定义域；

(2）研究函数的奇偶性，增减性，有界或无界性；

(3）作出它的图象。

5.(1）写出正方形的边长 I 和它的面积 A 之间的函数关系 l = f ( A )，并指出函数的定义域．

(2）写出立方体的棱长I和它的体积 V 之间的函数关系 l = f ( V ),并指出函数的定义域。

下期预告：名师彻底讲透初等函数(31)反函数

§5.6 反函数

在§2.2里我们曾指出，如果两个变量按照某一个法则联系着，当第一个变量在它的可取值范围里，取每一个确定的值时，第二个变量就相应地取得一个确定的值，这时我们就把第一个变量叫做自变量，第二个变量叫做自变量的函数。

但是，在研究变量间的函数关系的时候，究竟把哪一个变量看做自变量，是需要根据问题的性质来决定的。例如，在前面我们研究过的铁的重量 W 和它的体积 V 之间的函数关系。如果我们考察当体积 V 变化时，重量 W 的变化情况，那末应

……

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https://m.toutiao.com/is/ircUvN7c/ – 百科漫谈：名师彻底讲透初等函数(20)利用二次函数的图象解一元二次方程 – 今日头条
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https://m.toutiao.com/is/iB73HhUu/ – 百科漫谈：名师彻底讲透初等函数(22)一元二次不等式的解的讨论 – 今日头条
https://m.toutiao.com/is/iSvegpUC/ – 百科漫谈：名师彻底讲透初等函数(23)有理指数的幂函数y=x³ – 今日头条

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