不同形式隐函数的求导方法

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对于隐函数来说：

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一个二元隐函数我们可以把它想象为xoy平面的一条曲线，其中的x,y代表两条坐标轴，因此x,y是相互独立的变量，互相之间不存在任何函数关系。

当我们认为隐函数F(x,y)确定了某个函数关系y=f(x)的时候，就有：

对于三维空间：

偏导数为：

由于z=f(x,y)表示一个空间曲面，这种形式的隐函数用得最多。

对于三维曲面z=f(x,y)，可以通过将它写成z-f(x,y)=0或者f(x,y)-z=0的隐函数形式，求得它们三个方向的导数分别为(-fx,-fy,1)或者(fx,fy,−1)。这其实就是这个空间曲面在点(x,y)处的法向量，也是我们在曲面积分中用得最多的方向余弦的来历。

隐函数的另一种形式：

图1

上图的结果是同时对方程

左右两边对x求偏导数的结果。比如对隐函数F(x,y,z)：x²＋y²＋z²-1=0求导。

在这个过程中并没有破坏隐函数的求导法则， 因为Fx,Fy,Fz的结果还是Fx=2x,Fy=2y,Fz=2z。也就是说，图1中把z看成x,y的函数，并且方程两边对x求偏导的方法，只是得出了z对x的偏导数。

再看隐函数的复合函数形式：

图2

注意上图和图1的区别与联系。图1的隐函数方程是x²＋y²＋z²-1=0，而上图是

并且没有说明z=u。

为了得到

图1和图2都是方程左右两边同时对x求导。不同的是，图1中方程的右边是0，而图2不是。

图1是对隐函数 F 求偏导，而图2是对显函数 f 求偏导，这里(z=f)。

不管图1还是图2，都运用了复合函数的求导法则。

下面是一个例子：

总之，隐函数有多种不同的表示方法，它们的求导法则其实都遵循了复合函数的求导法则。