隐函数的导数怎么求？

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如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。F(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。（显函数即是形如y=f(x)的函数，即解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量）

例如：y=In x、y=2x、y=log a(b)【出于输入法的无奈……】、y=x+1等等，都是显函数。

例如方程：x^2+y^2=10、e^x+In y=123等等，都是由一个方程确定的函数，便是隐函数。

注意：如果方程f(x,y)=0能确定y与x的对应关系，那么称这种表示方法表示的函数为隐函数。 隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x^2+y^2=0。因此按照函数的定义，隐函数不一定是“函数”，而是“方程”。 也就是说，函数都是方程，但方程却不一定是函数。显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y右边是x的表达式 比如y=2x+1。隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如ey+xy=1。

2.隐函数的求导方法

有一些隐函数很容易便可以显化，那么我们就可以先将它显化，然后再求导。

然而，大多数的隐函数要显化是非常麻烦的，对于这一类隐函数，在下面我们会给出一种方法，无需通过隐函数的显化，直接由方程来计算出它的导数。

例如：

（1）求由方程y^5+2y-x-3x^7=0所确定的隐函数y=y(x)在x=0处的导数dy/dx。

解：当我们把方程中的y看作由方程所确定的隐函数y=y(x)时，则在隐函数有定义的区间内原方程为恒等式，即：[y(x)]^5+2y(x)-x-3x^7≡0

{补充：链式法则：[f(g(x))]’=f'(g(x))g'(x)——此结论可以通过dy/dx=(dy/du)(du/dx)证明，其中u为中间变量}

在等式两边对x求导，借助链式法则和求导乘法法则，得：

5[y(x)]^4·y'(x)+2y(x)-1-21x^6=0

将y'(x)表示出来，并将y(x)代换为y，即：

y'(x)=(1+21x^6)/(2+5y^4)

即：dy/dx=(1+21x^6)/(2+5y^4)

当x=0时，解的y=0，代入得：

dy/dx=1/2

总体思路就是构造y'(x)，然后再用y与x表示出来。

（2）设y=x^x，求dy/dx。

分析：我们会发现，直接对两边求导是十分困难的，此时，为了将两边的形式简单化，我们理所当然的会选择在等式两端去对数，那么以谁为底呢？考虑到之后要求导，因此，我们选择以e为底。

解：对等式两端分别以e为底取对数得

In y=x·In x

将y代换为y(x)，并对两边分别求导，得：

(1/y(x))·y'(x)=(In x)+1，（链式法则与乘法求导法则）

再将y代换称y(x)，并化简，那么，

dy/dx=y(1+In x)

又y=x^x，于是

dy/dx=x^x·[(In x)+1]

这种方法叫做对数求导法，用于求幂函数的导数。