分治法面试题（一）：矩形覆盖

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关于分治法

分治法，分而治之。就是将原问题划分为n个规模较小，结构与原问题类似的小问题进行处理，递归地解决这些问题，然后再合并求解的过程。

分治法在解决的流程上分为三个步骤：

2.解决：若子问题规模小，足以处理，则求解，否则继续递归处理。

3.合并：将子问题的解，合并成为原问题的解。

面试题：矩形覆盖

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用number个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*number的大矩形，总共有多少种方法？

分析：我们化繁为简，从下面的示例说起（设该问题的处理函数为rectCover）。

由于小矩形的尺寸是2×1，所以有大矩形为2×number的存在，那么我们第一步就可以有两种处理方式：

第一步如果选择竖方向填充，那么该问题的规模就缩减为对于剩余的2×（number-1）的大矩形的填充。

如果，第一步如果选择横方向的填充，则第二排的前面两个小矩形也只能如此填充，那么该问题的规模就缩减为对于剩余的2×（number-2）的大矩形的填充.

结合上述分析，很容易得到递推的关系： rectCover(number)=rectCover(number-1)+rectCover(number-2)。当然此处也要注意递归跳出条件的判定。

下面是对应的算法

 1 class Solution { 2 public: 3 int rectCover(int number) { 4 if(number<=0) return 0; 5 if(number==1) return 1; 6 if(number==2) return 2; 7 else 8 return rectCover(number-1)+rectCover(number-2); 9 } 10 };

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当然，递归的实现必须借助栈，而且存在很多重复计算的数据。不妨取number=5，递推的过程如下。可以看出rectCover(3)计算2次，rectCover(2)计算3次，rectCover(1)计算2次。所以递归的效率比较低下，下篇会继续探讨这个问题，给出另一种“高效”的解法。
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