中考几何进阶 40 辅助线法则 补全图形 与 不定图线段比 及其它

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△EPF∽△DPA、中考几何进阶 40 辅助线法则 补全图形 与 不定图线段比 及其它

在思考几何图形确定性的时候，已经了解：

[1]. 全等意义上确定的图形

这样的几何图形中的相关线段长度必定都是可解的；

[2]. 相似意义上确定的图形

这样的几何图形中的相关线段比必定都是可解的；

还有一类和求线段比有关的几何图形，即便在相似意义上也不是完全确定的，但是可以从另外一个维度来考察其确定性，这个维度就是“面积”。

[3]. 仅在面积比意义上确定的图形

这样的几何图形中相关“区块”的面积比都是可解的；

这样的几何图形中，仅有部分线段比是可解的；也就是从相似意义而言，是不完全确定的图形，或部分确定的图形。

比较重要的是，这类题型的基本型几乎都是源于平行四边形。

这一类图形中可确定的线段比，可以通过面积比来求解；也可以运用相似关系求解。

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通过典型例子的演绎，进一步了解“面积比意义上确定的图形”。

如图，△AEC中，F是EC的中点，G是AC的内分点，且AG/CG＝3/2；连接AF、EG相交于点P，求PE/PG？

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[1]. 确定与不确定

原则上应该且可以指定至少一个点为“定点”，本例指定E为定点是合适的。

其它点相对E点，在全等意义上都是不定的；

在相似意义上，后续内容表明，C、F、G、P相对点E是“确定的”：EF/CF、PE/PG、PA/PF是确定的，但点A是不确定的，也就是关联AE线段与其它线段的比是不可解的，也就是不确定的。

[2]. 由面积法求线段比

连接FG，并标号各三角区块，以标号表示面积，基于题设，列出区块面积满足的恒等式。

PE/PG＝①/②

＝③/④

＝(①＋③)/(②＋④)

EF/CF＝1：

☞ ③＋④＝⑤ <1>

☞ ①＋③＝②＋④＋⑤ <2>

AG/CG＝3/2：

☞ 2①＋2②＝3③＋3④＋3⑤ <3>

☞ 2②＋2④＝3⑤ <4>

各区块面积之和等于总面积S：

☞ ①＋②＋③＋④＋⑤ ＝S <5>

5个方程，6个未知，各区块面积均可由S表达，故各区块面积之比确定。

就所求，<4>代入<2>，可解得 PE/PG＝(①＋③)/(②＋④)＝5/3；

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题设在原理上未超纲，但在技术细节有嫌疑（五元一次方程组的消元解法）。

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[3]. 相似法求线段比

面积法的根毕竟是相似原理，所以由相似原理是可解。问题是如何构造相似三角形。

此类题的图形大都出于平行四边形图形中的局部图形，所以基于平行线构造法构造相似三角形是基本思路。

如果在题图基础上基于△AEC构造平行四边形，得

从后续内容，容易理解上图 仍然是整体图形中的“局部图形”。

正确的补全方法是延长EG，过A作AD∥EC交EG延长线于D；连接CD，过A作AB∥CD，交CE延长线于B。这样得到的才是“整体原图”：

这样得到四组基本的相似三角形：

△EPF∽△DPA、△EGF∽△DGH、△CGF∽△AGH、△CGE∽△AGD，由此可导出题设所求。

比较[2]与[3]，面积法较少几何原理，代价是增加了代数运算的复杂性；相似法较多基于几何原理，减轻了代数运算的负担；各有利弊。

[4]. 类似上述局部图形与整体图形的例子，也是不少的。

<1>. 正方形半角模型为整体图形

如图△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF，EF＝3，FG＝2，求S(△AEF)

整体图形与局部图形的关系：

<2>. 金三角形与等边三角形的结合

如图，△ABD中，∠A＝96°，∠C＝30°，求AB/AD ?

整体图形与局部图形的关系：

作A关于BD的对称点，连接BC、CD；此题实质上是要求解顶角108°的黄金三角形，AB/AD等于黄金数(√5-1)/2。

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本篇提示关注几何图形局部与整体的关系，对各种几何模型，能够正反双向运用，特别是有能力从局部图形“恢复”整体图形。